考研数学一真题2020年-附答案解析.doc

考研数学一真题2020年 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1、当x→0+时，下列无穷小量中最高阶的是______ ? ?A． ? ?B． ? ?C． ? ?D． 2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则______ ? ?A．当时，f(x)在x=0处可导 ? ?B．当时，f(x)在x=0处可导 ? ?C．f(x)在x=0处可导时， ? ?D．f(x)在x=0处可导时， 3、设函数f(x，y)在点(0，0)处可微，f(0，0)=0，，非零向量α与n垂直，则______ ? ?A． ? ?B． ? ?C． ? ?D． 4、R为幂级数的收敛半径，r为实数，则______ ? ?A．发散，则|r|≥R ? ?B．发散，则|r|≤R ? ?C．|r|≥R，则发散 ? ?D．|r|≤R，则收敛 5、若矩阵A由初等列变换为矩阵B，则______ ? ?A．存在矩阵P，使PA=B ? ?B．存在矩阵P，使BP=A ? ?C．存在矩阵P，使PB=A ? ?D．方程组Ax=0与Bx=0同解 6、已知直线相交于一点，记向量则______ ? ?A．α1可由α2，α3线性表示 ? ?B．α2可由α1，α3线性表示 ? ?C．α3可由α1，α2线性表示 ? ?D．α1，α2，α3线性无关 7、设A，B，C为三个随机事件，且则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为______ ? ?A． ? ?B． ? ?C． ? ?D． 8、设X1，X2，…，X100为来自总体X的简单随机样本，其中，Φ(x)表示标准正态分布函数，则由中心极限定理可知，的近似值为______ ? ?A．1-Φ(1) ? ?B．Φ(1) ? ?C．1-Φ(0.2) ? ?D．Φ(0.2) 二、填空题 9、 10、 11、设函数f(x)满足f"(x)+af'(x)+f(x)=0(a＞0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则 12、设函数 13、 14、已知随机变量X服从区间上的均匀分布，Y=sin X，则Cov(X，Y)=______． 三、解答题 本大题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值． 16、计算曲线积分，其中L是x2+y2=2，方向为逆时针方向． 17、设数列{an}满足a1=1，．证明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和函数． 18、设∑为曲面的下侧，f(x)是连续函数，计算 ? ? 19、设函数f(x)在区间[0，2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0，，证明： ? ?(Ⅰ)存在ξ∈(0，2)，使|f'(ξ)|≥M； ? ?(Ⅱ)若对任意x∈(0，2)，|f'(x)|≤M，则M=0． 20、设二次型经正交变换化为二次型，其中a≥b． ? ?(Ⅰ)求a，b的值； ? ?(Ⅱ)求正交变换矩阵Q． 21、设A为2阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量． ? ?(Ⅰ)证明P为可逆矩阵； ? ?(Ⅱ)若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵． 22、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1，X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为 ? ? ? ?(Ⅰ)求二维随机变量(X1，Y)的分布函数，结果用标准正态分布Φ(x)表示； ? ?(Ⅱ)证明随机变量Y服从标准正态分布． 23、设某种元件的使用寿命T的分布函数为其中θ，m为参数且大于零． ? ?(Ⅰ)求概率P{T＞t}与P{T＞s+t|T＞s}，其中s＞0，t＞0； ? ?(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…，tn，若m已知，求θ的最大似然估计值 答案: 一、选择题 1、D [考点] 本题考查无穷小的阶的比较及常见的等价无穷小． ? ?[解析] 当x→0+时，t→0+，选项A，因为当t→0+时，et2-1～t2，所以当x→0+时，；选项B，因为当t→0+时，，所以当x→0+时，；选项C，因为当t→0+时，sin t2～t2，所以当x→0+时，；选项D，因为当t→0+时，，所以当x→0+时，．故答案为D． 2、C [考点] 本题考查导数的定义． ? ?[解析] 选项A，令f(x)=|x|，则，但f(x)在x=0处不可导，故A项不成立；选项B，令则，但f(x)在x=0处不连续，从而在x=0处不可导，故B项不成立；选项D，令f(x)=x，显然f(x)在x=0处可导，但不存在，故D项不成立；选项C，当f(x)在x=0处可导时，f(x)在x=0处连续，则f(0)=，从而是有界变量，，答案为C． 3、A [考点] 本题考查二元函数可微的定义和内积的计算． ? ?[解