相似三角形综合题（添辅助线）.pdf

相似三角形综合题练习 1．已知点E 在△ ABC 内，∠ABC= ∠EBD=α，∠ACB= ∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°． （1）当α=60°时（如图1）， ①判断△ ABC 的形状，并说明理由； ②求证：BD= AE ； （2 ）当α=90°时（如图2 ），求 的值． 1 / 69 2 ．如图：在Rt△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点P 为△ ABC 所在平面上一点，且∠BPC=135°，连接 PA ． （1）当点P 在△ ABC 外时（如图①），求证：PA ﹣PB= PC ． （2 ）当点P 在△ ABC 内时（如图②），过点C 作CD⊥PA，垂足为D，设BP 的延长线交CD 于E ，若AD=8 ， CE=5，求PB 的长． 2 / 69 3 ．在△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点P 为△ ABC 外一点（P 与C 在直线AB 异侧），且∠APB=45°， 过点C 作CD⊥PA，垂足为D ． （1）求证：PA=2CD ； （2 ）设点P 关于AB 的对称点为E，连接PE 、CE，试判定线段AB 与CE 的数量关系，并给予证明． 3 / 69 4 ．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90°，BC=nAC ，CD⊥AB 于D，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BC， 垂足分别为E、F ． （1）若n=2 ，则 = ； （2 ）当n=3 时，连EF、DF ，求 的值； （3 ）当n= 时， = （直接写出结果，不需证明）． 4 / 69 5 ．已知E 为△ ABC 内部一点，AE 延长线交边BC 于点D ，连接BE 、CE，∠BED= ∠BAC=2 ∠DEC ． （1）如图①，若AC=AB ，求证：BE=2AE ； （2 ）如图②，在（1）的条件下，将∠ABC 沿BC 翻折得到∠FBC ，AE 延长线经过点F，M 为DF 的中点， 连接CM 并延长交BF 于点G ．若CG=3 ，AE=2DE ，求BD 的长． 5 / 69 6．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ． （1）当F 为BE 中点时，求证：AM=CE ； （2 ）若 = =2 ，求 的值； （3 ）若 = =n ，当n 为何值时，MN ∥BE ？ 6 / 69 7 ．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，AD=6 ．BC=3 ，DE ⊥AB 于E ，AC 交DE 于F （1）求AE•AB 的值； （2 ）若CD=4，求 的值； （3 ）若CD=6，过A 点作AM ∥CD 交CE 的延长线于M ，求 的值． 7 / 69 8．如图，△ ABC 中，AB=AC ，AD ∥BC ，CD⊥AC ，连BD ，交AC 于E ． （1）如图（1），若∠BAC=60°，求 的值； （2 ）如图（2 ），CF⊥AB 于F ，交BD 于G，求证：CG=FG； （3 ）若AB=13 ，tan ∠ABC= ，直接写出EC 的长为 ． 8 / 69 9 ．在△ ABC 与△ ADE 中，点E 在BC 边上，AD= AE ，AG 为△ ADE 的中线，且∠EAG= ∠ACB ，∠DAG= ∠B ． （1）如图1，求证：AB= AC ； （2 ）如图2 ，点F 是AC 中点，连接DF，∠AFD= ∠DAE ，连接CD 并延长交AB 于点K ，过点D 作DQ ∥BC 交BK 于点Q． ①求证：点Q 为BK 的中点； ②试探究线段BE 与DQ 的数量关系，并证明你的结论． 9 / 69 10．△ ABC 中，AB=AC ，取BC 的中点D，做DE ⊥AC 与点E ，取DE 的中点F，连接BE，AF 交于点H ． （1）如图1，如果∠BAC=90°，那么∠AHB= °， = ； （2 ）如图2 ，如果∠BAC=60°，猜想∠AHB 的度数和 的值，并证明你的结论； （3 ）如果∠BAC=α，那么 = ．（用含α 表达式表