例谈数列与函数的关系.pdf

例谈数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前 n 项和公式都可以看成是关于 n 的函数， 特别是等差数列的通项公式可以看成是关于 n 的一次函数（公差 d≠０时），而其求和公式 可以看成是关于 n 的二次函数 . 数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数 列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直观性来比较 . 因此，许多数列问题可以用函数 的知识进行分析，加以解决 . 1．等差数列的通项公式可以看成自变量为 n 的一次函数（公差 d≠０时） 2 例 1 已知等差数列 { } ，其前 n 项和为 ，是否存在常数 k ，使得 ka 1 S S a S n 2 n n 1 n n 成立 . 分析：将 an 看成是 n 的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解 . 2 解：设存在常数 k，使得 ka 1 S S 成立， n 2n n 1 令 p q an pn q （ 、 为常数）， 2 则 k( pn q) 1 S2 n Sn 1 . ① p 又∵ (1 2 ) ( 1) , ， S p n nq n n nq n 2 2 2 2 3 2 1 代入①式变为 kp n 2kpqn kq 1 pn p q n ( p q) ， 2 2 2 3 kp p， ② 2 1 2kpq p q， ③ 2 kq2 1 ( p q)， ④ 3 由②，得 p 0 或 kp . 2 将 p=0 代入③、④不成立 . p 将 kp=代入③，得 q ， 4 2 kp p 3 p 3 代入④，得 1 p ，即 1 p ， 16 4 32