高等数学（第2版）教学课件 第七章 定积分.pptVIP

定理 设函数 在闭区间 上连续， 满足条件： 函数 （1） ， ，且 ， （2） 在 （或 ）上具有连续导数， 则有 称为定积分的换元公式。 定积分的换元公式与不定积分的换元公式很 把变量 换成新变量 时， 的积分限，且上限 类似。但是，在应用定积分的换元公式时应注意 （1）用 以下两点： 积分限也要换成相应于新变量 对应于上限，下限对应于下限 ； 不必像计算不定积分那样再把 的函数，只需直接求出 区间上的增量即可。 （2）求出 变换成原变量 在新变量 的一个原函数 后， 的积分 解一 令 例4 解二 解法二简单 用换元积分法麻烦！ 证： 例 证： 练习 二、定积分的分部积分法 定积分的分部积分公式 证明： 移项 则有 例 计算 解 令 则 定积分的换元法 注意： 当被积函数在不定积分中用第二换元 小结: 法时, 定积分的分部积分法 在定积分中用换元法. 积分 §7.4 定积分的应用 一、平面图形的面积 1）如果 则 S S 即 （一）在直角坐标系下的面积问题 如图 则 例1 求曲边梯形的面积 一、定积分问题的两个实例 曲边梯形： 它有三条边是直线段， 其中两条边互相平行， 第三条边与前两条垂直叫做底边， 第四条边是一条曲线弧叫做曲边. 矩形， a b x y o 面积 曲边梯形是一个 a b x y o 先用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） 而现在 是一条曲线， 所以，不能用初等数学的方法解决. 曲线上的高度是变化的， 因此,我们用极限求曲边梯形面积. a b x y o （九个小矩形） , 1 2 1 0 b x x x x x a n n = = - L 具体步骤如下： 第一步 分割 个分点， ] , [ b a 内任意插入 在区间 第二步 作近似 得曲边梯形面积A的近似值为 第三步 求和 第四步 取极限 即 例 求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度 是 时间间隔 上的一个连续函数, 不能按此计算路程. 在很短的一段时间内， 因此， 在时间间隔很短的条件下， 可用匀速代替变速. 与求曲边梯形面积的方法一样，由如下四步求路程. 且 第一步 分割 第三步 求和 第四步 取极限 个分点， 内任意插入 在区间 第二步 作近似 上的路程 上某时刻 的速度 二、定积分的定义 定义 作和 被积函数 被积表达式 积分变量 积分上限 积分下限 由定积分定义可知： 说明： 即 2. 规定 3. 可积的充分条件： 它只取决于积分区间 和被积函数， 而与积分变量用什么字母表示无关. 说明： 在下面的性质中，假定被积函数都是可积的 此性质可以推广到有限个可积函数代数和的情况. 性质1 三、 定积分的性质 性质2 性质3 性质4 不论 a,b,c 的相对位置如何, 总有. 性质5 特别地， 推论1 若在区间 上 ，则 推论2 例 解 说明：性质1到性质5，均可由定积分定义证得. 证明 此性质可用于估计积分值的大致范围. 性质6 与最小值， 由性质5，得 由性质3，得 例 解 设函数 ) ( x f 在闭区间 ] , [ b a 上连续， 证明 由闭区间上连续函数的介值定理得 则在区间 ] , [ b a 上 性质7（定积分中值定理） 使 至少存在一点 ， 积分中值公式有如下几何意义： 为曲边的 曲边梯形面积 , 等于以 设函数 ) ( x f 在闭区间 ] , [ b a 上连续， 则在区间 ] , [ b a 上 性质7（定积分中值定理） 至少存在一点 ， 小 结 １．定积分的实质： (1) 估计积分值； (2) 不计算定积分比较积分大小; 3．定积分的性质 (1 7) 特殊和式的极限． 2. 注意: (3) 计算定积分. §7.2 微积分基本公式 一、变上限的定积分 一般地，若 ? 设物体作直线运动， 其速度 ， 则在 时间间隔 若已知路程函数 的路程也可表示为 在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题. 内所经过的路程为 则在 时间间隔 内经过 记为 称它为变上限定积分所确定的函数, (变上限定积分) 定理1 则变上限定积分 说明： 1