高等数学（第2版）教学课件 第二章 极限.pptVIP

§2.3 无穷小量与无穷大量 一、 无穷小量 二、无穷小量的运算法则 三、无穷大量 四、无穷小量与无穷大量的关系五、无穷小量阶的比较 一、无穷小量 定义： 时 , 则称函数 为 时的无穷小量 . 函数 如果函数 当 注意： 无穷小量本质是一个变量（函数）， 它与很小的数混淆 零是任何变化过程中的无穷 小量 。 不能将 （零例外）。 当 例如 : 函数 时为无穷小量. 函数 时为无穷小量. 函数 当 时为无穷小量. 函数 当 时为无穷小量。 当 ， 其中 为 时的无穷小量 . 定理 ( 无穷小量与函数极限的关系 ) 函数 以 为极限的充分必要条件是 可以表示为 与一个无穷小量的和。 ，其中 是一个无穷小量。 即 函数 有限个无穷小量的和仍为无穷小量 有界函数与无穷小量的乘积为无穷小量 常数与无穷小量的乘积是为无穷小量 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量 二、无穷小量的运算法则 定理1 两个无穷小量的和仍为无穷小量 推论1 定理2 推论3 推论2 无限个无穷小量之和不一定是无穷小量 ! 例如： 原式 说明: 求 解: 利用定理2可知 y = 0 是 的渐近线 . 例： 说明: 定理 2：有界函数与无穷小量的乘积为无穷小 量。 三、无穷大量 如果当 （或 ）时， 则称函数 当 （或 ）时为 （或 ）。 函数值 无限增大， 定义1 记作 无穷大量。 对应的 说明： （或 ） 时 按函数极限的定义来说，极限是不存在的。 当 ， 为了便于叙述函数的这一性态，我们也说 “函数的极限是无穷大”。 为无穷大量 定义2 （或 ）时， ，则称函数 当 （或 ）时为正无穷大量。 （或 ）。 函数值 无限增大 如果当 记作 对应的 如果当 （或 ）时， 函数值 且 则称函数 当 （或 ）时为负无穷大量。 （或 ）。 无限增大 , 对应的 定义3 记作 注意： 1.无穷大量本质是一个变量（函数）, 2.不能把无穷大量与很大的数混淆。 它是描述 函数的一种状态。 3.函数为无穷大量,必定无界.但反之不真 ! 例如,函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大量 ! （当 n→∞） 四、无穷小量与无穷大量的关系 若 为无穷大量, 为无穷小量 ; 若 为无穷小量, 则 为无穷大量. 则 在自变量的同一变化过程中, 说明 定理4. 且 解： 时， 是无穷小量， 时， 就是无穷大量， 所以 时 是正无穷大量， 。 例：求 lim 当 由定理4知， 定理4.在自变量的同一变化过程中,若 为无穷小量,且 则 为无穷大量. 因为 即 五、无穷小量阶的比较 都是无穷小量, 引例 . 但 可见无穷小量趋于 0 的速度是不一样的 . 、 定义: 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小量, 若 设 是自变量同一变化过程中的无穷小量, 记作 则称? 是比? 低阶的无穷小量; 若 若 若 或 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小量; 则称?是关于? 的k阶无穷小量; 则称 ? 是? 的等价无穷小量, 记作 定理： 且 存在 , 则 证: 设 都是无穷小量 常用的几个等价无穷小量代换 时有 当 例：求下列极限 （1） （2） （1）当 所以 （2）当 时， 所以 时， 解： 定理： ～ ～ 证: 即 即 例如, ～ ～ 故 无穷小量 无穷大量 ∞ +∞ -∞ 0 0 小结 运算法则：无穷小量的和与积 无穷小量阶的比较 设? ,?是自变量同一变化过程的无穷小量,且 ?是?的高阶无穷小量 ?是?的低阶无穷小量 ?是?的同阶无穷小量 ?是?的等价无穷小量 ?是?的k 阶无穷小量 无穷小（大）与无穷小（大）量的区别： 一、无穷小（大）是结果，可视为一个扩充的数。 二、无穷小（大）量是一个变量，是指一类函数。 §2.4 极限运算法则与两个重要极限 一、极限四则运算法则 二、两个重要极限 极限四则运算法则 定 理 极限均存在 3. 1. 2. 设有数列 与常数 ，如果当 无限 无限接近于 ，则称常数 为数列 或称数列 收敛于 ，记为 ，或 数列极限的定义 的 时， 定义: 极限. 增大 1.记号 常读作：当 趋于无穷 趋于 大时， 说明： 2.如果一个数列没有极限，就称该数列是发散的。 。 例如, 收 敛 趋势不定 发 散 数列收敛的条件 定理1. 收敛数列的极限唯一. 定理2. 若数列 收敛，则数列 一定有界。 注意: 有界数列不一定收敛，但无界数列必然发散。 必要条