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— PAGE \* Arabic 1 — 《高中数学竞赛》数列 竞赛辅导  数列(等差数列与等比数列)  数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。  所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{a n }的第n 项a n 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。  从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。  为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。  一、 等差数列  如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。 等差数列{a n }的通项公式为：)1()1(1d n a a n -+= 前n 项和公式为：)2(2  )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 从(1)式可以看出，n a 是n 的一次数函(0≠d )或常数函数(0=d )，(n a n ,)排在一条直线上，由(2)式知，n S 是n 的二次函数(0≠d )或一次函数(0,01≠=a d )，且常数项为0。在等差数列{n a }中，等差中项： 2  21+++=n n n a a a 且任意两项n m a a ,的关系为：d m n a a m n )(-+= 它可以看作等差数列广义的通项公式。  从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：  {}n k a a a a a a a a k k n n n 3,2,1,123121∈+==+=+=++--  若q p n m a a a a q p n m N q p n m +=++=+∈:,,,,,*则有且  等等或等差数列,,,,1  )12(,)12()1(232121 k n nk k k k k k n n n m S S S S S S S a n S a n S -+++=-=  二、 等比数列  如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示。等比数列{a n }的通项公式是： 11-?=n n q a a  前n 项和公式是：  1,1=q na  =n S  1,11)1(111≠--=--q q  q a a q q a n  n 在等比数列中，等比中项： 21++?=n n n a a a 且任意两项n m a a ,的关系为m n m n q a a -?=  如果等比数列的公比q 满足0＜q ＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为：  q  a S -=11 从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：  {}  121121212321*123121)(,)(:,,  :,,,,,,3,2,1,+++--+==??=?=?∈∈?=?=?=?n n n n n n n n n m q p k n k n n n a a a a a a a a a a N q p n m n k a a a a a a a a πππ则有记则有若  另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂n a C ，则{n a C }是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。  数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n 项和。  三、 范例  例1． 设a p ，a q ，a m ，a n 是等比数列{a n }中的第p 、q 、m 、n 项，若p+q=m+n ，  求证：n m q p a a a a ?=?  证明：设等比数列{n a }的首项为1a ，公比为q ，则  n  m q p n m n m q p q p n n m m