弯曲应力计算(1).docx

第7章弯曲应力 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问 题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横 截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力一一剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关； 而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， 所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Fq时，就必然有切应力 T; 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题， 本章将分别研究正应力与 切应力的计算。 弯曲正应力 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面 上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 ? 3) (b)卜一 * 一 Ik? 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 图7-1 图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲 时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图 7-2(a)所示的矩形截 面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线 m-m、n-n和平行于轴线的纵向线 d-d、 b-b。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶 Me,使梁产生纯弯曲。此时 可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线 a'a'、b'b',靠顶面的aa线缩短了，靠底面的bb线伸长 了。横向线 m-m、n-n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲 了的纵向线保持正交，如图 7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行 如下假设： 平面假设梁所有的横截面变形后仍为平面.且仍垂直于变形后的梁的轴线。 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成， 各纤维之间没有相互挤压， 每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在 纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近 下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短，这层纤维称为 中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为 中性轴。由于外力偶 作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于 对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段 dx的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面 的相对转角为d，则距中性层为y处的任一层纵向纤维 bb变形后的弧长为 式中，p为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维 00长度 相等，又因为变形前、后中性层内纤维 00的长度不变，故有 由此得距中性层为y处的任一层纵向纤维的线应变 b'b' bb (p y)d 0 p 0 y ￡ (a) bb pd 0 p 上式表明，线应变 ￡随y按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量 E相等，则由 虎 克定律，得 y (T E e E (b) p 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处， y=0,因而 =0,中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应 力数值相等(图7-5 )。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径 和 中性轴的位置尚未确定，所以不能用式 (b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z轴，过z、y轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为 x 轴，作用于微面积 dA上的法向微内力为 dA。在整个横截面上，各微面积上的微内 力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足F 力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足 Fx 0 , My 0 , M z 0三个平衡方程。 由于所讨论的梁横截面上设有轴力，Fn将式 由于所讨论的梁横截面上设有轴力， Fn 将式(b)代人式(c)，得 式中，E/恒不为零，故必有静矩 Sz Fn 0，故由 Fx 0 ,得 odA 0 (c) A ydA A 0，由第 5章知道，只有当z轴通过 z通过横截面的形心。这样就 截面形心时，静矩 Sz才等于零。由此可得结论：中性轴 完全确定了中性轴在横截面上的位置。 由于所讨论的梁横截面上没有内力偶 My,因此由 由于所讨论的梁横截面上没有内力偶 My,因此由 M y 0，得 M