考点45 变量间的相关关系-高考全攻略之备战高考数学（理）考点一遍过含解析.doc

变量的相关性 （1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 1．相关关系 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系．即相关关系是一种非确定性关系． 当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关； 当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关. 【注意】相关关系与函数关系的异同点： 共同点：二者都是指两个变量间的关系． 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系． 2．散点图 将样本中的n个数据点描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图． 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 具有正相关关系的两个变量的散点图如图1，具有负相关关系的两个变量的散点图如图2. 3．回归分析 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)． 4．回归方程的求解 （1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小． 若变量x与y具有线性相关关系，有n个样本数据，则回归方程中，. 其中， 称为样本点的中心． （2）线性回归模型，其中称为随机误差，自变量称为解释变量，因变量称为预报变量． 【注意】①回归直线必过样本点的中心，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据． ②利用回归直线方程不但可以预测在x取某一个值时，y的估计值，同时也能知道x每增加1个单位，的变化量． ③在回归直线方程中，既表示直线的斜率，又表示自变量x的取值每增加一个单位时，函数y的改变量． 5．相关系数 （1）样本相关系数r的计算公式 我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为. （2）样本相关系数r的性质 ①； ②当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关； ③|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强； ④|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱. 6．非线性回归分析 对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，然后用线性回归的方法进行研究． 在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决． 7．刻画回归效果的方式 方式方法 计算公式 刻画效果 越接近于1，表示回归的效果越好 残差图 称为相应于点的残差， 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. 残差平方和 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 考向一 相关关系的判断 判定两个变量正、负相关性的方法： (1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关； (2)相关系数：r0时，正相关；r0时，负相关； (3)线性回归方程中：时，正相关；时，负相关． 典例1 给出下列有关线性回归分析的四个命题： ①线性回归直线未必过样本数据点的中心； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于. 其中真命题的个数为 A． B． C． D． 【答案】A 1．对两个变量x，y进行线性回归分析，计算得到相关系数r A．x与y正相关 B．x与y具有较强的线性相关关系 C．x与y几乎不具有线性相关关系 D．x与y的线性相关关系还需进一步确定 2．某国际控股有限公司2012~2017年的年广告支出y(单位:百万元)与年利润x(单位:百万元)的统计资料如表所示: 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 支出y 0.64 0.72 0.79 0.85 0.98 1.06 利润x 11.9 13.1 15.7 17.1 19.6 21.5 根据统计资料,则 A．利润的中位数是15.7,y与x为正相关关系 B．利润的中位数是16.4,y与x为正相关关系 C．利润的中位数是17.1,y与x为负相关关系 D．利润的中位数是16.4,y