届高考数学（文科，通用）二轮复习突破练 高考压轴大题突破练（一）含答案.docVIP

高考压轴大题突破练 高考压轴大题突破练(一) ——直线与圆锥曲线(1) (推荐时间：70分钟) 1．(2014·课标全国Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq \f(2\r(3),3)，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 解　(1)设F(c,0)，由条件知，eq \f(2,c)＝eq \f(2\r(3),3)，得c＝eq \r(3). 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. (2)当l⊥x轴时，不合题意， 故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx－2代入eq \f(x2,4)＋y2＝1得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)0，即k2eq \f(3,4)时， x1,2＝eq \f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1). 从而|PQ|＝eq \r(k2＋1)|x1－x2|＝eq \f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1). 又点O到直线PQ的距离d＝eq \f(2,\r(k2＋1))， 所以△OPQ的面积S△OPQ＝eq \f(1,2)d|PQ|＝eq \f(4\r(4k2－3),4k2＋1). 设eq \r(4k2－3)＝t，则t0，S△OPQ＝eq \f(4t,t2＋4)＝eq \f(4,t＋\f(4,t)). 因为t＋eq \f(4,t)≥4，当且仅当t＝2， 即k＝±eq \f(\r(7),2)时等号成立，且满足Δ0， 所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝eq \f(\r(7),2)x－2或y＝－eq \f(\r(7),2)x－2. 2．(2014·陕西)如图，曲线C由上半椭圆C1：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(ab0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为eq \f(\r(3),2). (1)求a，b的值； (2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程． 解　(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1， 且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左，右顶点． 设C1的半焦距为c，由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)及a2－c2＝b2＝1， 得a＝2.∴a＝2，b＝1. (2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程， 整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点P的坐标为(xp，yp)， ∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根． 由根与系数的关系，得xp＝eq \f(k2－4,k2＋4)， 从而yp＝eq \f(－8k,k2＋4)， ∴点P的坐标为(eq \f(k2－4,k2＋4)，eq \f(－8k,k2＋4))． 同理，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k?x－1??k≠0?，,y＝－x2＋1?y≤0?))得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)． ∴eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2k,k2＋4)(k，－4)，eq \o(AQ,\s\up6(→))＝－k(1，k＋2)． ∵AP⊥AQ，∴eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(AQ,\s\up6(→))＝0，即eq \f(－2k2,k2＋4)[k－4(k＋2)]＝0. ∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0， 解得k＝－eq \f(8,3). 经检验，k＝－eq \f(8,3)符合题意． ∴直线l的方程为y＝－eq \f(8,3)(x－1)， 即直线l的方程为y＝－eq \f(8,3)x＋eq \f(8,3). 3．已知抛物线C：y＝mx2(m0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解　(1)∵抛物线C：x2＝eq \f(1,m)y，∴它的焦点F(0，eq \f(1,4m))． (2)∵|RF|＝yR＋eq \f