《对数函数的概念》示范公开课教学设计【高中数学人教版】.docx

《对数函数的概念》教学设计 教学目标 教学目标 1．通过对具有现实背景的具体实例的分析，经历数学推理的过程，了解对数函数刻画的变化规律的特征，理解对数函数的概念． 2．结合对数函数概念的形成过程，进一步体会研究具体的一类函数的过程和方法，提升数学抽象的核心素养． 教学重难点 教学重难点 教学重点：对数函数的概念． 教学难点：由指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)，推理得到对数函数概念的过程． 课前准备 课前准备 PPT课件，计算器，GGB课件． 教学过程 教学过程 （一）整体感知，明确任务 引导语：在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究． 设计意图：明确本节课研究的内容，以及和前面课程的关系． （二）新知探究 1．研究具体问题，进行数学推理 问题1：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数．进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计一个方案来研究这个问题吗？ 师生活动：学生讨论交流，然后提出方案，由教师进行补充和完善． 预设的答案：要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是否符合函数的定义．在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断． 设计意图：从另一个角度继续研究碳14衰减的问题，让学生感受到对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系，从而更好地理解对数函数．培养学生在解决一个数学问题时，首先应当做有条理的思考，然后制定方案，最后再实施，而不是盲目的乱做． 追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该怎样进行判断呢？ 师生活动：教师引导学生先回忆函数的定义，然后确定判断方法． 预设的答案：函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A． 所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y∈(0，1]，是否都有唯一确定的数x和它对应． 设计意图：与通过抽象概括出指数函数的概念不同，这里是希望通过演绎推理得到对数函数的概念，因此就必须要有演绎推理的理论依据． 图1追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图1，观察的图象，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)（0＜y0≤1）作x轴的平行线，结合指数函数的单调性，这条平行线与的图象有几个交点？这说明对任意一个y∈(0，1]，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？ 图1 师生活动：先由学生按照追问1确定的办法进行分析，教师可以展示GGB课件“4.4对数函数第一课时-平行于x轴的直线与指数函数图象的交点”，并演示动画效果．学生结合图象和指数函数的单调性，推理得出结论，教师予以补充完善． 预设的答案：从图象上看，这条平行于x轴的直线，与的图象至少有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数为减函数，所以这个交点是唯一的交点．这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0．这说明对任意一个y∈(0，1]，在[0，+∞)上都有唯一确定的数x和它对应．所以x也是y的函数． 设计意图：可以让学生先从图象上获得直观认识，然后回到函数的定义，帮助学生深入理解对数函数的概念． 追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？ 师生活动：学生独立完成，个别提问回答． 预设的答案：根据指数与对数的运算关系，可以将这种对应关系，改写为．习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，于是就得到函数，它刻画了时间y随碳14含量x的衰减而变化的规律． 设计意图：通过对一个具体实例的分析，得到一个具体的对数函数．为后面得到一般的对数函数作铺垫． 2．演绎推理，形成对数函数的定义 问题2：对一般的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)，根据指数与对数的运算关系，转换成x=logay (a＞0，且a≠1)，能否将x看成是y的函数？ 师生活动：利用解决问题1的经验，先由学生解答这个问题，然后教师予以补充完善． 预设的答案：根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，y=ax单调递减；当a＞1时，y=ax单调递增．所以考虑一般的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)，对任意一个y∈(0，+∞)，都有唯一确定的数x和它对应．因此，x也是y的函数． 教师讲解：通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将x=logay (a＞0，且a≠1)改写为：y=logax (a＞0，且a≠1)．这就是对数