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抛物线及其标准方程练习 一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 2 1．抛物线 y x 的准线方程是（ ） A ． x 8 1 B． x 32 1 4 C． y=2 D． y=4 2．与椭圆 4x2 5 y 2 20 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ） A ． y 2 4x B． y 2 4 x C． x2 4 y D． x 2 4 y 3．过（ 0，1）作直线，它与抛物线 y2 4x 仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．设抛物线 y ax2 (a 0) 与直线 y=kx+b（ k≠ 0）有两个公共点， 其横坐标分别是 x1 、 x2 ，而 x3 是直线与 x 轴交点的横坐标，则 x1 、 x2 ， x3 的关系是（ ） A ． x3 x1 x2 B． x3 1 1 x1 x2 C． x1 x2 x2 x3 x1 x3 D． x1 x3 x2 x3 x1 x2 5．若抛物线 y 2 2 px( p 0) 上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半 径的关系是（ ） ．成等差数列 B．成等比数列 C．既成等差又成等比数列 D．既不成等差又不成等比数列 6．已知 A 、B 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上两点， O 为坐标原点，若 |OA|=|OB| ，且△ AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 AB 的方程是（ ） A ． x=p B． x 3 p 2 C． x 5 p 2 D． 3p 二、填空题 7．经过抛物线 y 2 4x 的焦点且与直线 y=2x 所成的角为 45°的直线方程为 _________。 8．经过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作一直线 l 交抛物线于 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， 则 y1 y2 的值为 __________。 x1 x2 三、解答题 9．求顶点在原点，以 y 轴为对称轴，其上各点与直线 3x+4y=12 的最短距离为 1 的抛 物线方程。 10．若抛物线 y ax2 1 上存在关于直线 x+y=0 对称的两点，求 a 的范围。 11．抛物线 y x2 与过点 M （ 0，-1）的直线 l 相交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点， 2 若直线 OA 和 OB 的斜率之和为 1，求直线 l 的方程。 答案与提示 一、1．C 2． B 3． C 4． C 5． A 6． C 二、 7． y=-3x-3 或 y 1 x 1 3 3 8． -4 三、 9．提示：依题意可设抛物线方程为 2 2 (0) x py y ∵此抛物线上各点与直线 3x+4y=12 的最短距离为 1，此抛物线与在直线 3x+4y=12 下方 且距离为 1 的直线 3x+4y=7 相切 由 x2 2 py 得 2 x2 3 px 7 p 0 3x 4 y 7 0 ∴ 9 p 2 4 2 7 p 0 解得 p 56 9 ∴所求抛物线方程为 x2 112 y 9 10．提示：设 A（ m，n），B（ -n，-m）为抛物线 y ax2 1上关于 x+y=0 对称的两点， n am2 1 (1) 则 m an 2 1 (2) （ 1） -（ 2）得 m n 1 (m n 0) （ 3） a （ 1） +（3）得 2 2 (1 ) 0 a m am a 故判别式 2 4 2 (1 ) 0 ，又 a≠ 0 a a a ∴ a 3 4 11．提示：设点 A 和 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，直线 l 的方程为 y=kx-1 ， y2 y1 x22 x12 x1 x2 2 2 则 k x1 x2 x1 2 x2 由题中已知条件 kOA kOB y1 y2 1 x1 x2 又 y1 x12 ， y2 x22 ，则 x1 x2 1即 x1 x2 1 ，于是 k=1 ，所以直线 l 2 2 2 2 2 的方程为 y=x-1