清华大学2021年数学科学领军人才培养计划综合测试数学试题及解答.pdfVIP

清华大学2021年数学科学领军人才培养计划综合测试数学试题及解答 1. 已知a,b,c,d 都是正整数，且a3 =b2 , c5 = d 4 , c −a = 77 ，求d −b . 解：由题意可设a x2 ，b = x3 ，c = y4 ，d = y5 ，从而y4 − x2 = 77 ，因式分解得 (y 2 −x )(y 2 +x ) 77 ，从而y 2 −x 7 ，y 2 +x 11，解得x = 2 ，y 3 ，因此 d −b y5 =− x3 235 . 2. 已知x R ，f (x) = 2x4 +mx3 +(m +6)x2 +mx +2  0 ，求正整数 的最大值. m 解：x (x 2 +x +1)m + 2(x 4 +3x 2 +1)  0 ，当x 0 时显然成立，当x  0 时，分离变量 2(x4 +3x2 +1) 可得m  ，令t =−x  0 ，则 −x(x2 + x +1) 2 1 4 2 t + +3 2(t +3t +1) t 2 m  = 2 ， t(t 2 −t +1) 1 t + −1 t 1 u2 +1 2 令u =t + 2 ，从而m  2 = 2(u −1+ +2) ，所以m  4( 2 +1) ，所以正 t u −1 u −1 整数 的最大值为9. m X 0 0 3. 已知矩阵 满足条件：①元素都属于集合{0,1, −1} ；②每行每列不全为 ；③去掉 元 X X 素后每行每列都为1, 1 .三阶这样的矩阵 共有7 个，问四阶这样的矩阵 共 − , , 1, − 1 有几个？ X −1 1 X 4！=24 解：若矩阵 不含元素 ，则每一行每一列都仅含有一个元素 ，矩阵 共 个； X −1 −1 X 2 2 若矩阵 含有元素 ，则 必然在矩阵 的一个 子矩阵中   