高中数学求函数值域的解题方法总结(16种).docx

PAGE 9 - 求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出的值域。 解：由算术平方根的性质知，故。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数的值域。（答案：） 反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数的反函数为：，其定义域为的实数，故函数y的值域为。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数的值域。（答案：）。 配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由可知函数的定义域为。此时= ，即原函数的值域为 点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：的值域。（答案：） 判别式法： 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。 例:求函数的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原函数的值域。 解：由== 得 ∵当时，-2 = 0 ，不成立 当时，由，得= ∴或 由于 ∴函数的值域为。 点评：把函数关系化为二次方程，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适用于及。 练习：求函数的值域。（答案：）。 最值法： 对于闭区间上的连续函数，可以求出在区间内的较值，并与边界作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。 例：已知，且满足，求函数的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：，上述分式不等式与不等式同解，解之得，又，将y=1-x代入中，得， 且，函数z在区间上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=-5；当时，。 函数z的值域为。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求值而获得函数的值域。 练习：若为实数，则函数的值域为( ) A. B. C. D. (答案：D） 六、单调法: 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例：求函数的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即，其定义域为，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,,(),易知它们在定义域内为增函数，从而 =在定义域为上也为增函数，而且,因此，所求的函数值域为｛y|y≤｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 七、换元法： 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例：求函数的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设（t≥0）,则 　　。 　　于是. 　　所以，原函数的值域为｛y|y≥｝。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数的值域。（答案：｛y|y≤｝） 八、构造法: 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例：求函数的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为构作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个边长为1的正方形。 设HK=x,则=2-x,KF=2+x,AK=,KC=。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数的值域。（答案：｛y|y≥｝