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新课程高中数学课堂教学中的案例（一） ---- — 再谈基本不等式 a 2 b 2 a b ab 2 ab 的创新表示法 2 2 a b 石河子第一中学 朱友忠 案例：基本不等式 a 2 b 2 a b ab 2 ab 的创新表示法 2 2 a b 《北师版·必修 5》【不等式 习题课 】§ 3·4 P95 B 组第 1 题略有改动 题目：在⊙ O 上半圆中已知 AC=a,CB=b,( a≥ b),CD ⊥ AB,EO⊥ AB,连接 OD，作 CF⊥ OD 如图所示：请用 a,b 分别表示线段 CE,OE,CD,DF 的长度，指出它们之间的大小关 系，并证明； 一、归纳课本中的表示法 E 解：∵ AC= a,CB=b, ∴ OC= a b ,CG=OE= a b D 2 2 在 Rt△ EOC 中，有 CE2=OC 2+OE 2=( a b )2+( a b ) 2= a 2 b2 F 2 2 2 OE=OD= a b ( 同圆的半径相等 ) ， CD= ab A O C B 2 在 Rt△ ODC 中，有 CD2=DF· OD; ∴DF= CD2 = ( ab) 2 = 2ab OD a b a b 2 整理： CE= a2 b 2 ， OE= a b , CD= ab , 2ab 2 2 DF= a b 通过图中的 Rr △的斜边与直角边的关系，显然可以得出： CE≥OE≥ CD≥ DF成立； 即： a2 b 2 a b ab 2ab ， 当且仅当 a=b 时，取“ =”成立。主要是建立集合图形证明。 2 2 a b 《北师版·选修 2- 2》 (P12 习题 1- 2 中第 1 题中 )再次出现“ a 2 b2 a b ab 2ab ”的证明。 2 2 a b 二、创新课本中的表示法 上课时提问： “ a b ”在全面所学的知识中与那个式子类同？ 2 学生甲说：在学习等差数列中，与等差中项的公式类同； 学生乙说：在学习求 A、 B 两点的中点坐标公式类同； 学生丙说：在学习函数知识时 ,当某个函数的图象满足 f(x+ a)=f(b- x)时，则函数图象的对称轴 x0 a b 的表达式类同； 2 学生丁说：在初中学习平面几何时，与梯形的中位线式子类同。 通过几分钟的提问与启发，老师与学生，学生与学生之间进行了互动和回忆；同学们竟然能回想起这么多的类同，说 明“ a b ”这个式子在数学知识里也是非常重要的一个表达式；而且在大学的数学课本中还有与上述类同式子的应用。 2 同学们，今天我们就学生丁同学所说，利用梯形中四条线段的长度来 表示：“ a2 b2 ” ，“ a b ”“ ab ”，“ 2ab ” 是 D a C 2 2 a b 成立的；则它们分别代表哪四条线段呢？ 设梯形的下底 AB= b ，上底 CD= a，如图 (1), 于是就有： E F D a C (1). 梯形的“中位线” EF= a b ,显然成立； 证明很简单略 2 A b B G H 在初中的平面几何中已经证明。 图(1) (2). 在梯形中，作 GH∥ AB与两腰相交于 G、 H；如图 (2), 使得梯形 A b B ABHG与梯形 GHCD相似，则 DC GH ,即 GH= ab 显然成立；称 GH为“相似线” 图(2) GH AB (3). 在梯形中，过梯形两对角线的交点 O 作 PQ∥ AB 与两腰相交于 P、 Q；如图 (3), 设 PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有△ DPO∽△ DAB, 则 PO DO x m mb ① AB DB ，即 b m n ，∴ x= m n D a C △BOQ∽△ BDC,有 OQ BO y n na ② P O Q DC BD ，即 a m n ，∴ y= m n 由①，②可得， PQ=x+y= mb + na = mb na 即 PQ=mb na ③ A b B 图 (3) m n m n m n m n 在梯形中，△ ODC∽△ OBA,有 DC DO a m ④ D a C AB OB , 即 b n 将④代入③中消去 m 得: PQ= 2ab , 称 PQ为“调和线” M h1 N K h2 n a b A b S B 图 (4) (4). 在梯形中，作 MN∥ AB 与两腰相交于 M、 N；如图 (4), 使得梯形 ABNM与梯形 MNCD的面积相等，设 （ a x)h1 (x b)h2 ， D MN=x, 则有 2 2 h1 x b ⑤，在梯形中，△ CKN∽△ NSB,有 h1 KN , 即 h1 x a ⑥ h2 a x h2 SB h2 b x GP E 由⑤，