2021年中考数学二次函数题型归纳——专题10 胡不归问题（解析版）.docx

胡不归问题 已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12 【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 即：3a＝3，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3， 则顶点D（2，﹣1）． （2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 过点P作y轴的平行线交BC于点H， 设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）， 则S△PBC=12?PH×OB=32（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）=32 ∵-32＜0，故S△PBC有最大值，此时 故点P（32，- （3）存在，理由： 如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CG，作QH⊥GH，垂足为G， 则GQ=12 AQ+12QC最小值＝AQ+GQ＝ 直线GC所在表达式中的k值为3，直线GC的表达式为：y=3x+3…① 则直线AG所在表达式中的k值为-3 则直线AG的表达式为：y=-33x+s，将点A的坐标代入y=-33x+s 则直线AG的表达式为：y=-33x+ 联立①②并解得：x=1-3 故点G（1-334，3+3 则AG=3+ 即：AQ+12QC的最小值为 如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P． （1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式； （2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E' 【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3）， 则有n=3m+3m+n=0，解得m= ∴抛物线y=-34x2 令y＝0，得到-34x2+ 解得：x＝4或﹣1， ∴A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则b=34k+b=0，解得k= ∴直线AB解析式为y=-3 （2）如图1中，设P（x，-34x2+94x+3），则点N（x 则设△PAB面积为S， 则S＝S△PNA+S△PNB=12×PN×OA=12×4×（-34x2+94x ∵-32＜0，故S有最大值，当x＝2时，S （3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′=43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝ ∵OE′＝2，OM′?OB=4 ∴OE′2＝OM′?OB， ∴OE'OM' ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴M'E'BE' ∴M′E′=23 ∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23BE′最小（两点间线段最短，A、 最小值＝AM′=4 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A，点B（3，0），交y轴于点C，点M（m，0）是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MP⊥x轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ． （1）求二次函数的表达式； （2）若∠COP＝∠QCP，求QP的长； （3）若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN，求MN+13 【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3b+3，解得：b＝2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3）， 则OB＝OC＝3，故∠OCB＝∠OBC＝45°， 设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则3k+b=0b=3，解得：k= 故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 点M的坐标为：（m，0），则点P、Q的坐标分别为：（m，3﹣m）、（m，﹣m2+2m+3）， 则PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m； ∵PQ∥y轴， ∴∠OCP＝∠CPQ， ∵∠COP＝∠QCP， ∴△OPC∽△CQP， ∴OCPC=PCPQ，即PC2＝ ∴2m2＝3（﹣m2+3m）， 解得：m＝0（舍去）或95 故PQ＝﹣m2+3m=54 （3）∵PQ∥y轴， ∴∠OCP＝∠CPQ， ∵△CPQ是以CP为底边的等腰三角形， ∴∠QCP＝∠QPC， ∴∠QCP＝∠PCO＝45°， ∴∠OCQ＝90°，即CQ∥x轴， 故点C、Q关于函数对称性直线x＝1对称，故点Q的坐标为：（2，3）； 过点C