最新二重积分积分区域的对称性.docxVIP

情形一：积分区域D关于坐标轴对称 定理4设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则 当f(x, y) f(x, y)(即f (x, y)是关于y的奇函数)时，有 f (x,y)dxdy 0 . D 当f(x, y) f (x, y)(即f (x, y)是关于y的偶函数)时，有 f ( x, y )dxdy 2 f(x,y)dxdy D Di 其中Di是由x轴分割D所得到的一半区域。 例5 计算I (xy y 3)dxdy ，其中D为由y2 2x与x 2围成的区域。 D 解：如图所示，积分区域 D关于x轴对称，且 3 f (x, y) (xy y ) f(x,y) 即f (x, y)是关于y的奇函数，由定理1有 f (xy y3) dxdy 0 . D 类似地，有： 定理5设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则 2 f (x, y)dxdy ,当 f ( x, y) f (x, y). f (x, y)dxdy D2 0,当 f ( x, y) f (x, y). 其中D2是由y轴分割D所得到的一半区域。 的偶函数，由对称性定理结论有: 例 6 计 算 I x2ydxdy,其中 D D y 2x 2; y -2x 2及y 0所围。 解 :如图 所 示， D关 于y轴对称， f( x, y) 2 x y f (x, y) ，即被积分函数是关于 为由 并且 x轴 y X y X3与y x所围区域? I x2 ydxdy D 2 x2 ydxdy 2 : dx D1 2x 2 x2 ydxdy - 15 定理6设二元函数 f(x,y)在平面区域D连续，且 D关于x轴和y轴都对称，则 (1)当 f ( x, y) f (x, y)或 f (x, y) f (x, y)时，有 f ( x , y ) dxdy D (2)当 f ( x, y) f (x, y) f (x, y)时,有 f ( x, y ) dxdy D 4 f ( x, y ) dxdy D1 其中D!为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分I y|)dxdy ，其中 D : 解：如图所示，D关于x轴和 y轴均对称，且被积分函数关 于x和y是偶函数，即有 f (x, y) f( x, y) f (x,y)， 由定理2,得 y )dxdy 4 ( x D1 y )dxdy 1 . 6 D! ,由对称性 D1 dxdy I y |dxdy D1 (x D1 y )dxdy 4 ( D1 x )dxdy 8 D1 | x dxdy 情形二、 积分区域D关于原点对称 定理7 设平面区域D D1 D2,且D1, D2关于原点对称，则当D上连续函数满足 1) f( x, y) f (x, y)时,有 f (x, y )dxdy D x, y) f (x, y)时,有 f (x, y) dxdy D 2 f (x, y)dxdy D1 0 . 2) f( 例8 计算二重积分 (x3 y3)dxdy , D为 D 解:如图所示,区域D关于原点对称，对于被积函数f (x, y) x3 y3,有 f ( x, y) ( x)3 ( y) f ( x, y) ( x)3 ( y)3 (x3 3\ y ) f (x, y),有定理7,得 (x3 y3)dxdy 0 . D 情形二、积分区域D关于直线y x对称 定理8设二元函数 f (x, y)在平面区域 D连续，且D Di D2, D1P2关于直线y x对 1) f (x, y)dxdy D  f (y,x)dxdy ; D Di f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy . D2 2)当 2)当 f (y,x) f (x, y)时，有 f (x, y)dxdy D 3)当 f(y,x) f (x, y)时，有 f (x, y)dxdy D f ( x, y) dxdy Di R R2所围. 2 2 (笃 爲)dxdy , D 为 x 2y x2 厂) 2 y x 2 厂)dxdy , a b 解：积分区域 D关于直线 y x对称，由定理8,得 2 (笃d a 2 詁)dxdy 2 "dy  ![汇 2[d (a2  2 b^dxdy  2 x T^)dxdy] b 类似地， 1 2( 古)(x2 b d y2)dxdy r 2rdr 0 7r4( 可得： 丄丄) 2 」2 ? a b 定理9设二元函数f (x,y)在平面区域D连续，且D D1 D2, D1,D2关于直线y x对称, f (x,y)dxdy 0 ；(1)当 f ( y, x) f (x, y) f (x,y)dxdy 0 ； D ⑵当 f ( y, x) f (x, y) ⑵当 f ( y,