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模块十三 常数项级数
Ⅰ经典习题
一.具体级数收敛性的判别
1、判断下列级数的收敛性
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
2、判断下列级数的收敛性(包括绝对收敛与条件收敛)
(1) (2)
(3) (4),()
3、下列级数中不一定收敛的是( )
(A) (B)
(C) (D)
4、下列级数条件收敛的是( )
(A) (B)
(C),其中收敛. (D)
5、对于常数,级数( )
(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛 (D)收敛性与k的取值有关
6、设为常数,则级数
(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性与的取值有关
7、判别级数的敛散性,并证明
二.抽象级数收敛性的判别
8、 (为常数) ( )
(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性有有关
9、设是微分方程满足初始条件的特解,
则无穷级数? ( )
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定
10、设函数在区间内可导,且导函数有界:,证明
(1)级数绝对收敛;
(2)存在.
11、设函数是微分方程当时的一个特解,试讨论级数的收敛性.
12、设在上单调增加,且
(1)证明级数收敛,并求其和;
(2)进一步设在上二阶可导,且证明级数收敛。
13、设正项数列单调下降,且发散,证明收敛.
三.收敛性的讨论
14、已知,且条件收敛,若设,则级数( ).
(A)条件收敛 (B)绝对收敛
(C)发散 (D)收敛或发散取决于的具体形式
15、下列选项中正确的是( )
(A)若,则与有相同敛散性
(B)若正项级数收敛,则必有
(C)若正项级数发散,则必有
(D)正项级数的敛散性与有关
16、下列四个有关级数的论断
①若级数发散,则
②若,则必收敛
③若正项级数收敛,则级数必收敛
④若且交错级数条件收敛,则级数必发散
正确的是( )
(A)①与② (B)②与③ (C)③与④ (D)①与④
17、若级数收敛,则级数
18、设有两个数列若则
19、若级数均收敛,则级数
20、符合下列哪一个条件,可由 发散推出发散
21、若级数收敛,发散,则级数
22、设收敛,则
23、正项级数收敛是级数收敛的
24、如果级数收敛,则级数
25、如果级数都发散,则
26、已知级数收敛,则下列级数中必收敛的是
27、下列命题成立的是
28、设有命题
(1)若正项级数满足,则级数必收敛;
(2)若正项级数收敛,则;
(3)若,则级数同敛散;
(4)若数列收敛,则级数收敛。
以上四个命题中正确的个数为( )
Ⅱ参考答案
一.具体级数收敛性的判别
1. (1)收敛;(2)发散; (3)发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6收敛); (7) 收敛; (8); 收敛
2. (1)条件收敛;(2条件收敛; (3)条件收敛; (4) 绝对收敛;
3.
4.
5.
【解析】: 因为数列单调减少,且,故交错级数收敛.对于级数.由于,而级数发散,故级数发散,因此对任何常数级数条件收敛.
6.
【解析】:因为收敛,发散,所以级数发散.
7.收敛
【解析】: 因为
因为收敛,所以收敛,设其和为.
故
即而
所以
二.抽象级数收敛性的判别
8.
【解析】: 由于
又收敛,故也收敛,也即绝对收敛
故正确选项是(A)
9.
【解析】: ,两边再对微分,得
把代入上面两个微分方程可得到由可知,
存在,使得在上, ,此时单调递增
所以有,由莱布尼茨定理知收敛.
故有
又,发散,
所以也发散,即有条件收敛.
10.【解析】:(1)
由于收敛,所以由比较判别法知,收敛,即绝对收敛.
(2)由级数收敛,则它的前项部分和
当时极限存在.
所以存在,即存在,证毕.
11.绝对收敛
【解析】因为.由得.
根据泰勒公式,得
所以,.而级数收敛,故由正项级数的比较审敛法知,级数收敛,故原级数绝对收敛.
12. 略
13. 略
三.收敛性的讨论
14.
【解析】:由交错级数 条件收敛及知
,,其
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