平面向量常见题型与解题方法归纳学生版.doc

平面向量常见题型与解题方法归纳 1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例 1 ：已知 a 是以点 A(3, － 1) 为起点，且与向量 b = ( － 3,4) 平行的单位向量，则向量 a 的终点坐标 是 . 例 2：已知 | a |=1,| b |=1 ， a 与 b 的夹角为 60° , x =2 a－ b，y=3b－ a, 则 x 与 y 的夹角的余弦是多少？ 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r r r r r 例 1（ 1） a, b 为非零向量。 “ a b ”是“函数 f ( x) ( xa b) (xb a) 为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （ 2）已知 O， N， P在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0，且 PA ? PB PB ?PC PC ? PA ，则点 O， N，P依次是 ABC的 A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心 例 2． 已知平面向量 a＝ ( 3 ，－ 1) ， b＝ ( 1 , 3 ).(1) 若存在实数 k 和 t ，便得 x＝ a＋ ( t 2－ 3) b, y＝－ ka 2 ＋ t b，且 x ⊥y，试求函数的关系式 k＝ f(t) ； (2) 根据 (1) 的结论，确定 k＝f(t) 的单调区间 . 例 3： 已知平面向量 a ＝ ( 3 ，－ 1) ，b ＝ ( 1 ， 3 ) ，若存在不为零的实数 k 和角α， 使向量 c ＝ a ＋(sin 2 2 α－ 3) b , d ＝－ k a ＋ (sin α ) b , 且 c ⊥ d ，试求实数 k 的取值范围 . 例 4：已知向量 a (1, 2), b ( 2,1) ，若正数 k 和 t 使得向量 x a (t 2 1)b与 y k a 1 b垂直，求 k 的最小值 . t 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查 . 例 7． 设函数 f ( x) ＝a · b ，其中向量 a＝ (2cos x , 1), b＝ (cos x, 3 sin2 x), x∈ R. （1）若 f( x) ＝ 1－ 3 且 x∈ [ － ， ] ，求 x；（ 2）若函数 y＝ 2sin2 x 的图象按向量 c＝ (m , n) ( m ﹤ ) 平移后得到函数 y＝ f( x) 3 3 m、n 的值 . 2 的图象，求实数 例 8：已知 a=（ cosα， sin α ） , b=（ cosβ, sin β ）(0 αβπ) ，（1）求证： a+b 与 a- b 互相垂直； （ 2） 若 ka+b 与 a- kb 的模大小相等 ( k∈ R且 k≠0) ，求 β－ α 巩固练习 1. 函数 y cos(2x ) r , F 的函数解析式为 y f ( x), 当 y f ( x) 为奇函数 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F r 6 时，向量 a 可以等于 A.( , 2) B.( , 2) C.( , 2) D.( , 2) 1. 6 6 6 6 2. 给定两个长度为 uuur uuur 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 120o . C 在以 O为圆心的圆弧 uuuv 如图所示，点 AB上变动 .若 uuur uuur uuur y 的最大值是 ________. OC xOA yOB , 其中 x, y R , 则 x 3 给出下列命题 ① 非零向量 a 、 b 满足 | a |=| b |=| a - b | ，则 a 与 a + b 的夹角为 30°； ② a · b ＞ 0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数 y=| x-1| 的图象按向量 a =（ -1 ， 0）平移，得到的图像对应的函数为 y=| x| ； ④若（ AB AC ）·（ AB AC ） =0，则△ ABC为等腰三角形 以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）