高一数列通项公式常见求法.docxVIP

数列通项公式的常见求法 一、公式法 高中重点学了等差数列和等比数列， 当题中已知数列是等差或等比数列， 在求其通项公 式时我们就可以直接 利用等差或等比数列的公式 来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、已知等差数列｛an｝满足a2=0, a6+a8=-10,求数列（an｝的通项公式。 解：（I）设等差数列（an｝的公差为d,由已知条件可得 a1 d a1 d =0, 2a1 12d = -10, 解得 [a〔 =1,d = -1. 故数列（an｝的通项公式为an =2 — n. 2、等比数列公式 例2、设（an｝是公比为正数的等比数列， a〔 = 2 , a3 = a2 + 4 ,求（an｝的通项公式。 解：设q为等比数列（an｝的公比，则由a =2,a3 = a2+4得2q2=2q + 4, 即q2 —q — 2 = 0,解得q =2或q = -1 （舍去），因此q = 2. 所以（an｝的通项为an =2 2口 = 2n（n亡N*）. 3、通用公式 若已知数列的前n项和Sn的表达式，求数列^aj的通项an可用公式 S n=1 … an =」 求解。一般先求出 31=5，右计算出的an中当n=1适合时可以 §-&厂心 合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列（an｝的前n项和Sn =n2 —1,求（an｝的通项公式。 解：4=8]=。，当 n^2 时 an =& - Sn】=W T) -[(n T)2 T] = 2n T 0 (n=1) 由于a〔不适合于此等式 。 :.an =』 n 2n-1 (n 芝 2) 、当题中告诉了数列任何前一项和后一项的 递推关系即：an和az的关系时，我们可 I I n 1 以根据具体情况采用下列方法： 1、累加法 一般地，对于形如an*=an + f(n)类型的通项公式，且f (1) + f (2) +…+ f (n)的 和比较好求，我们可以采用此方法来求 an。 即：an =Gn—an」)+(an」—au)+||| + (a2—ai) +务(吨2)。 例4、数列的首项为3 ,板)为等差数列且bn =an书-an(K N*).若则b3 = -2 b|0 =12 则 a8 = TOC \o "1-5" \h \z A . 0 B. 3 C . 8 D. 11 解：由已知知bn =2n-8，az -an =2n-8,由累加法 (a2 -a〔)(a3 -a2) (a8 -a7) 6 -4 -2 0 2 4 6 = 0= a8 = a1 =3 1 例5、 已知数列｛an｝洒足a〔=-,an41=an+ ，求数列｛an｝的通项公式。 n n 解：由题知:1 1 解：由题知: an ?1 —^n = = n n n(n 1) 二 an = (an — an -i) +(an -i — an -2) + +(a 2- a1) +a〔 1 11 1 1 1 1 =( —)* ( 一 )* +(一一—)+— n -1 n n-2 n-1 1 2 2 1 =——— 2 n =f(n)(f (n)为可求积的数列)”的形式可2 =f(n)( f (n)为可求积的数列)”的形式可 通过累乘法求数列的通项公式。即： - an an j a2 an = ^ ill a1 (n 企2)； 般地对于形如“已知a、且也1 an 例6、在数列｛ an｝中，a〔 =1, (n+1) - af=n - an ,求an的表达式。 TOC \o "1-5" \h \z an 1 n 解：由(n+1) - an^=n - an 得 — , an n 1 鱼=也鱼,鱼...<^ = 1 2 3…心=1 所以an=〕 a〔 a〔 a? a3 a”」2 3 4 n n n 3、构造法 当数列前一项和后一项即 an和an」的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推 关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列(等比数列或等差数列) 具体有以下几种常见方法。 (1)待定系数法：形如an*=can +d，E°,其中a1=a)型 (1)若c=1时，数列｛&｝为等差数列； (2)若d=0时，数列｛an｝为等比数列； (3)若 ^1^ ,°时，数列｛ an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅 助数列来求. d，比较系数得待定系数法：设an 1 . ' =c(an .' d，比较系数得 得 &*=啊 WC-1.与题设 an+=can + d 一，(c = 0) (cT)&=d,所以 c—1 所以有: 因此数列Ja 因此数列J ai 构成以 cT为首项，以c为公比的等比数列, d , d \ n」 , d \ n二 d a" —； =(a〔 —)c an =(a〔 一)c