将军饮马问题的11个模型及例题.pdf

将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1. 两点之间，线段最短； 2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4. 垂线段最短 . 基本模型 1. 已知：如图，定点 A、B 分布在定直线 l 两侧； 要求：在直线 l 上找一点 P，使 PA+PB的值最小 解：连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求 , PA+PB的最小值即为线段 AB 的长度 理由：在 l 上任取异于点 P 的一点 P′，连接 AP′、BP′， 在△ ABP’中， AP′+BP′>AB，即 AP′+BP′>AP+BP ∴P 为直线 AB 与直线 l 的交点时， PA+PB最小 . 2. 已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧 要求：在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB值最小 （或△ABP 的周长最小） 解：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ′，连接 A ′B 交 l 于 P， 点 P 即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线 l 为线段 AA′的中垂线， 由中垂线的性质得： PA=PA′，要使 PA+PB最小，则 需 PA′+PB值最小，从而转化为模型 1. 3. 已知：如图，定点 A、 B 分布在定直线 l 的同侧（ A、B 两 点到 l 的距离不相等） 要求：在直线 l 上找一点 P，使 ︱PA-PB ︱的值最大 解：连接 BA并延长，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求； 理由：此时︱ PA-PB ︱=AB，在 l 上任取异于点 P 的一点 P′， 连接 AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱ P′A-P ′B ︱<AB， 即︱ P′A-P ′B ︱< ︱PA-PB ︱ 4. 已知：如图，定点 A、 B分布在定直线 l 的两侧（ A、B 两 点到 l 的距离不相等） 要求：在直线 l 上找一点 P，使 ︱PA-PB ︱的值最大 解： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 B′A 并延长交