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初中数学竞赛辅导资料 第一讲 数的整除 一、内容提要： 如果整数 A 除以整数 B(B ≠0)所得的商 A/B 是整数 ,那么叫做 A 被 B 整除 . 0 能被所有非零的整数 整除 . 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除 3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除 (如 771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减 ,其差能被 11 整除 11 (如 143,1859,1287,908270 等 ) 7,11,13 从右向左每三位为一段 ,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减 , 其差能被 7 或 11 或 13 整除 .(如 1001 ，22743 ，17567 ，21281 等 ) 能被 7 整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的 2 倍 ③其差能被 7 整除。 如 1001 100－2 ＝98 （能被 7 整除） 又如 7007 700－ 14＝686， 68－12＝56 （能被 7 整除） 能被 11 整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被 11 整除 如 1001 100－1＝99 （能 11 整除） 又如 10285 1028－5＝1023 102－3＝99 （能11 整除） 二、例题 例 1 已知两个三位数 328 和 2x9 的和仍是三位数 5y 7 且能被 9 整除。 求 x,y 解： x,y 都是 0 到 9 的整数，∵ 5 y 7 能被 9 整除，∴ y=6. ∵328＋ 2x9 ＝567 ，∴x=3 例 2 已知五位数 1234x 能被 12 整除，求 x 解：∵五位数能被 12 整除，必然同时能被 3 和 4 整除， 当 1＋2 ＋3＋4 ＋ x 能被 3 整除时， x=2 ，5 ，8 当末两位 4x 能被 4 整除时， x ＝0 ，4 ，8 ∴ x ＝8 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是 10234， 但（ 1＋2 ＋4 ）－（ 0 ＋3）＝ 4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为 30 ，41 ，52 ，63 ，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是 10263 。 练习一 1、分解质因数： （写成质因数为底的幂的连乘积） 第 1 页 （共 49 页） ① 756 ② 1859 ③ 1287 ④ 3276 ⑤ 10101 ⑥ 10296 2 、若四位数 987a 能被 3 整除，那么 a=_______________ 3 、若五位数 12x34 能被 11 整除，那么 x ＝__________ 4 、当 m=_________ 时， 35m5 能被 25 整除 5 、当 n=__________ 时， 9610n 能被 7 整除 6 、能被 11 整除的最小五位数是 ________, 最大五位数是 _________ 7 、能被 4 整除的最大四位数是 ____________ ，能被 8 整除的最大四位数是 _________ 。 8 、8 个数：① 125，②756 ，③ 1011，④ 2457，⑤ 7855 ，⑥ 8104，⑦ 9152 ，⑧70972 中，能被下列各数整 除的有（填上编号） ： 6________,8___