2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案).docVIP

PAGE 精品文档 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列满足. （1）求； （2）证明：. 解：（1）. （2）证明：由已知，故 ， 所以证得. 例题2. 数列的前项和记为 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求. 解：（Ⅰ）由可得， 两式相减得：， 又∴ 故是首项为1，公比为3的等比数列 ∴ （Ⅱ）设的公差为，由得，可得，可得 故可设，又， 由题意可得，解得 ∵等差数列的各项为正，∴ ∴ ∴ 例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且 对任意的都成立，数列是等差数列. ⑴求数列与的通项公式； ⑵是否存在，使得，请说明理由. 点拨：（1）左边相当于是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，. （2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况. 解：（1）已知…）① 时，…）② ①－②得，，求得， 在①中令，可得得， 所以N*）. 由题意，，，所以，， ∴数列的公差为， ∴， ）. （2）， 当时，单调递增，且， 所以时，， 又， 所以，不存在，使得. 例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ② ∵ an、bn为正数， 由②得， 代入①并同除以得： ， ∴ 为等差数列 ∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ∴ ， ∴当n≥2时，， 又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴ 2. 研究前n项和的性质 例题5. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求、的值及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 解：（1）时，.而为等比数列，得， 又，得，从而.又. （2）， ） ，得， . 例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足 ， （1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和. 解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列， ∴，∴ 由，得，∴数列的前项和的最大值为. （2）由（1）当时，，当时，， ∴当时， 当时， ∴. 例题7. 已知递增的等比数列{}满足，且是，的等差中项. （1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍） ∴an=2·2（n－1）=2n （2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n） ∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2， 若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5. 例题8. 已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，. 函数. （I）求数列的通项公式； （II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较 的大小. 解：（I）成等差数列，① 当时，②. ①－②得：，， 当n=1时，由①得， 又 是以1为首项3为公比的等比数列， （II）∵，， ， 比较的大小，只需比较与312?的大小即可. ∵∴当时， 当时， 当时，. 3. 研究生成数列的性质 例题9. （I） 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数； （II） 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列. 解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 将cn=2n＋3n代入上式，得 [2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2 =[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]， 即[（2－p）2n+（3－p）3n]2 =[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]， 整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0， 解得p=2或p=3. （Ⅱ）设