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一元四次方程的根式解
上海 黄之
关于代数方程的求根公式的历史，本文就不多说了，四次方程的求根公式应该属于费拉里的。
一，
首先，想重复一次三次方程的求根公式，即的零点，首先将g(x)写成：
在形式上，使二次项消失。然后令,,,
计算后可得：
则有：
若方程系数都为实数，则时g(x)有一个实零点和一对共轭虚零点，当时，g(x)有一个重根，当时，g(x)有三个不相等的实零点：
其中
也许值得一提的是，实系数方程的根全部都是实数的充分必要条件是：
这表明，三个实数r,s,t，则关于复数的方程组：
的解都是实数的等价条件为：
上式等号成立，等价于中有某两个数相等.
二，
现在开始考虑四次方程的求根公式.首先考虑缺三次项的四次方程. 即的根，将方程变形，引入一个参数y：
eq \o\ac(○,1)
上式左边是一个平方式，期待右边也是平方式，故而需要：
上述关于y的方程即：，以本文开头的三次方程的求根公式解之，令，此时还不需要去简化.则得到（只需要取该关于y的方程的一个实根即可，事实上任何一个根都可以.）：
将上面的其中一个y代入 eq \o\ac(○,1)，即得到：
则原方程可以化为两个二次方程：
由此，可以得到的根：
三，
那么最后，来考虑的零点，先将f(x)写成：
形式上使三次项消失，这可以通过考虑f(x)在某个待定点附近的泰勒展开式做到.
用刚才缺三次项的四次方程的求根公式解之，令：
简化上述p,q的表达式：
而,其对应的y为：
事实上只需要取一个实值的y即可.
然后由第二段的缺三次项的四次方程的求根公式就得到最后的解，为了表达简洁，再令：
（只需要取实值，事实上都可以，只需要取其中一个.）
故而的四个零点是：
可得：
而从整个过程不难讨论f(x)的零点情况，不再继续.
四，
事实上在第一段中，把三次方程归结为了形式：，在这种情况下，只需作变换：即可将其归结到二次方程，所以得到第一段的解法.
提出一些问题供练习:
求出一个等腰三角形，使得它三个内角的正弦值之和等于它们的余弦值之和.
实数x满足，当x取什么值的时候，函数达到最大值？
3，证明：，包含了以下三个数：
4，证明：
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