【随堂优化训练】年数学(人教A版)必修5配套课件2-精选课件(公开).pptVIP

2．5.2 等比数列前 n 项和的性质 【学习目标】 掌握等比数列{ an}前 n 项和公式的一些基本性质． 1．数列{an}是等比数列，Sn 是其前n项和，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 也成__________． 等比数列 练习 1：在正项等比数列{an}中，若 S2＝7，S6＝91，则 S4 ) A 的值为( A．28 C．35 B．32 D．49 2．在等比数列中，若项数为 2n(n∈N*)，S 偶与 S 奇分别为 q 12 36 练习2：已知等比数列{an}中，公比q＝3，a1＋a3＋a5＋a7＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＝_______，a3＋a5＋a7＋a9＝_______. 【问题探究】 写成 Sn＝A(qn－1)(Aq≠0，且 q≠1)的形式？若可以，A 等于什 么？ 题型 1 等比数列前 n 项和性质的应用 【例 1】 已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30. 求前 3n 项和． 解：方法一：设数列为{an}， 依题意，可得 Sn＝10，S2n＝30. 又∵在等比数列{an}中， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)， 即(30－10)2＝10·(S3n－30)， 即S3n＝70. 方法二：∵S2n≠2Sn，∴q≠1. 由已知，得 与 Sn 有关的性质主要是 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 的关系．在与 Sn 有关的运算中，经常用到两种技巧：①两式相 除法；②整体代入法．但都不要忽略对 q 的讨论． 【变式与拓展】 1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝_____________. 题型 2 等比数列前 n 项和的综合运算 例2：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q. 思维突破：解本题的关键是利用a1·an＝a2·an－1，进而求出a1，an，要注意a1，an有两组解． 解：∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66， ∴a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 解方程，得x1＝2，x2＝64. ∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1. 【变式与拓展】 2．已知数列{an}为等比数列，Sn 是它的前 n 项和，若 a2·a3 A．35 C．31 B．33 D．29 答案：C 3．各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn ＝2，S3n＝14，则 S4n＝( ) B A．80 B．30 C．26 D．16 S4n＝S3n＋q3nSn＝14＋23×2＝30. 解析二：设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列 ?x2－2x－24＝0?x＝6. ∴Sn＝2，S2n－Sn＝4，S3n－S2n＝8，S4n－S3n＝16， ∴S4n＝2＋4＋8＋16＝30. 解析三：令n＝1?a1＝2. a1(1＋q＋q2)＝14?q2＋q－6＝0?q＝2， ∴S4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝30. 题型 3 等比数列前 n 项和的实际应用 【例 3】 小君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄， 若存入银行年利率为 6%，若购某种股票年红利为 24%，不考 虑物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份 公司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行． (1)求小君购股票或储蓄 x 年后所拥有人民币总额 y 与 x 的 函数关系式； (2)问：经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等(lg2 ＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg1.06＝0.025 3)? 0.06)x-1]a， 解：(1)设小君有人民币 a 元，若长期储蓄，则 x 年后人民 币总额为 y＝a(1＋0.06)x，即 y＝1.06x·a. 若购买股票，则 x 年后利息和红利总额为 y ＝[0.24 ＋0.24(1 ＋0.06) ＋0.24(1 ＋0.06)2 ＋…＋0.24(1 ＋ 即 y＝4(1.06x－1)a. 即大约经过 5 年，股票与储蓄拥有的人民币相等． 此题是复利问题，问题的关键是每满一年将前 面的本息和作为整体自动转存． 【变式与拓展】 4．一房地产开发商将他新建的 20 层商品房的房价按下列 方法定价，先定一个基价 a 元/m2，再据楼层的不同上下浮动， 一层价格为(a－d)元/m2，二层价格 a 元/m2，三层价格为(a＋d)