中考数学专题复习圆压轴八大模型题(7)-直径在腰上.docx

圆压轴题八大模型题（七） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题， 往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题， 整理了这些习题的常见的结论，破题的要点， 常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型 7 直径在腰上 如图，已知在△ ABC 中， AB＝ AC，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE⊥ AC 于点 E. (1) 求证： BD＝ DC ； A (2) 求证： DE 为⊙ O 的切线； (3) 求证： CE＝ EF. O F (4) 若 AF＝7， BC＝ 6，求 DE. E 【分析】 ( 1) 连结 AD , 由腰三角形三线合一证之； （2）连结 OD, 点 D 为 BC 中点，  B D 图 7-1  C 由中位线定理得 OD ∥ AC, ∴∠ ODE ＝∠ AED ＝ 90°得 证； （3）如图 a，连结 DF ，有∠ DFC ＝∠ B＝∠ C, DF ＝DC, 又 DE⊥FC , 得 CE＝EF. （4）由∠ C＝∠ B＝∠ DFC 得△ DFC ∽△ ABC， CD CF， CA CB BD＝ CD ＝ 3，设 CF ＝ m，则 CA＝ m＋ 7，  A 3 m O ∴ m 7 ,解得 m1＝ 2,m2 ＝－ 9（舍去）， 6 ∴CE＝ 1 m＝1， BD 2 图 a Rt△ DEC 中， DE ＝ 32 1＝2 2 【典例】 （2018 ·湖北孝感）如图，△ ABC 中， AB＝ AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于点 D ，交点 E，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G.  F E C AC 于 1）求证： DF 是⊙ O 的切线； 2）已知 BD＝2 5 ，CF＝2，求 AE 和 BG 的长 . G G B B O D O D A E F C A E F C 【分析】 图 7-1 （备用图） （1）由 AD 是等腰△ ABC 的三线合一，点 D 是 BC 中点，点 O 是 AB 中点， OD 是△ ABC 的中位线，∴ OD ∥ AC，得∠ ODG ＝∠ AFG＝ 90°证得；（ 2）由 BD＝ CD＝2 5 ，CF＝2 得 DF ＝4，连结 BE，由中位线定理得 BE＝ 8， CE＝ 4，由△ DFC ∽△ ABD 得 AB ＝10，∴ AE ＝6，由 BE∥ GF 得 BG＝ 10 . 3 解：（ 1）连接 OD ， AD ，∵ AB 为⊙ O 的直径， ∴∠ ADB ＝90°，即 AD ⊥ BC， ∵AB ＝AC， ∴ BD ＝ CD，又∵ OA＝OB，∴ OD∥AC ， ∵DG ⊥ AC，∴ OD ⊥ FG， ∴直线 FG 与⊙ O 相切； 图 a 2）连接 BE．∵ BD＝2 5 ，∴ CD＝BD＝2 5 ， ∵CF ＝2，∴ DF ＝ (2 5) 2 22 ＝ 4，∴ BE＝ 2DF ＝ 8，∵ cos∠ C＝cos∠ ABC， CF BD ，∴ CD AB  2 2 5 ∴AB＝10 ∴AE＝ 102 82 ＝6 25 AB ∵BE ⊥AC， DF ⊥ AC，∴ BE∥ GF，∴△ AEB∽△ AFG ∴ AB AE 10 6 AG AF ，∴ 2 6 10 BG ∴BG＝ 10 3 【点拨】 构造等腰三角形的三线合一， 同时也构造了直径所对的圆周角是直角， 借三线合一、 中位线的知识证明切线， 联系锐角三角函数， 勾股定理， 并运用圆内接四边形的外角等于内对 角，三线合一找边等角等是关键。 【变式运用】 1．（ 2016·四川乐山）如图 13，在 ABC 中， AB AC , 以 AC 边为直径作⊙ O 交 BC 边 于点 D,过点 D作 DE AB 于点 E ， ED 、 AC 的延长线交于点 F . （1）求证： EF 是⊙ O 的切线； （2）若 EB 3 3 , 求⊙ O 的半径与线段 AE 的长 . , 且 sin CFD 2 5 （1）证明：如图 2 所示，连结 OD ， ∵ AB AC ，∴ B ACD . ∵ OC OD ，∴ ODC OCD . ∴ B ODC，∴ OD ∥ AB . ∵ DE AB，∴ OD EF. 图 7-2 EF 是⊙ O的切线 . 2）在 Rt ODF 和 Rt AEF 中， ∵ sin CFD 3 OD AE 3 B ，∴ . E 5 OF AF 5 设 OD 3x ，则 OF 5x . D