2020版高考数学一轮复习（讲义·理） 第11章 算法复数推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明.doc

第4讲　直接证明与间接证明 [考纲解读]　1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法．(重点) 2.能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：①反设；②归谬；③结论．(难点) 3.综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等． [考向预测]　 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点. 预测2020年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等. 1．直接证明 续表 2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题eq \o(□,\s\up4(01))不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明eq \o(□,\s\up4(02))原命题成立的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． 1．概念辨析 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　) (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)要证明eq \r(3)＋eq \r(7)<2eq \r(5)，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　) A．综合法 B．分析法 C．类比法 D．反证法 答案　B 解析　用分析法证明如下：要证明eq \r(3)＋eq \r(7)<2eq \r(5)，需证(eq \r(3)＋eq \r(7))2<(2eq \r(5))2，即证10＋2eq \r(21)<20，即证eq \r(21)<5，即证21<25，显然成立，故原结论成立． 用综合法证明：因为(eq \r(3)＋eq \r(7))2－(2eq \r(5))2＝10＋2eq \r(21)－20＝2(eq \r(21)－5)<0，故eq \r(3)＋eq \r(7)<2eq \r(5). 反证法证明：假设eq \r(3)＋eq \r(7)≥2eq \r(5)，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论． 从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选B. (2)命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　) A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 答案　B 解析　因为证明过程是“从左到右”，即由条件出发，经过推理得出结论，属于综合法．故选B. (3)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 答案　A 解析　因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．故选A. 题型 eq \a\vs4\al(一)　分析法的应用 (2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝tanx，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且x1≠x2，求证：eq \f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))). 证明　要证eq \f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))， 即证明eq \f(1,2)(tanx1＋tanx2)>taneq \f(x1＋x2,2)， 只需证明 eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx1,cosx1)＋\f(sinx2,cosx2)))>taneq \f(x1＋x2,2)， 只需证明 eq \f(sin?x1＋x2?,2cosx1cosx2)>eq \f(sin?x1＋x2?,1＋cos?x1＋x2?).由于x1，x2∈eq \b\