高中数学“用面积定义正弦”的解题研究.docx

高中数学“用面积定义正弦”的解题研究 【摘要】在高中数学学习中，函数模块学习是高考中的重要考点， 也是实际学习中的难点。三角函数属于的函数范畴，是高中数学学习中常 用的知识点。在三角函数的定义教学屮，教师为了让学生能够直观的理解 什么是正弦函数，什么是余弦函数，借助的数学图形面积的方式，来定义 正弦。该种定义方式既简单乂易于学生理解。基于此，木文就高中数学“用 血积定义正弦”的解题进行研究。 【关键词】高中数学；用面积定义正弦；解题；研究 .、八— 刖B 以面积定义正弦，在实际课堂上的教学，能够以较少的课时学到比较 多的数学知识，思考与讨论空间更加的大。该种教学方法能够使得三角函 数、几何、代数之间的联系更加的密切，使得我们在课堂上的数学素养和 基本的思维能力有了很大的提升。以面积定义正弦，能够比较好的体现出 函数思想，使得高中数学问题能够在短时间内得以解决。 1?菱形面积的正弦算法提出 正弦函数的计算在初中阶段被引岀，初中阶段的正弦函数计算主要借 助直角三角形中的“对边比斜边”计算得出的对应角的止弦。止弦函数与 面积计算Z间的联系并不密切。教师在反复研究屮，从小学数学课堂中的 三角形面积计算公式出发，以单位菱形面积的计算引出正弦函数。并見希 槊通过这样的数形转换能够使得与正弦函数相关的知识更加便于我们的 理解。SinA在初中数形教学中，大部分都应用到的直角三角中，在教学中 具有一定的特殊性，而高中的数学教学对于正弦函数的应用主要用于锐角 三角形或者多边形中。 设矩形木框ABCD的面积为S, S二ABXCD,其中AB二2, CD=3,则S二2 X3X 口，□代表的数值为1。假设该矩形木框上被挤压，木框变为了斜框, 于是矩形就直观的变为了平行四边形。如下图所示，平行四边形被分为了 面积相等，形态相同的六个小平行四边形。并且每一个小平行四边形的边 长为1,那么该大平行四边形的高则变为了 2Xsina ,则大平行四边形ABCD 面积二3X2Xsina。 经过由以上数学图形面积的计算，我们可以总结出基于面积的正弦函 数概念定义为：边长为1, 一个角为a的菱形的面积，就是角a的正弦， 并且记sin a =S菱形，注：当a二0。或者180°时，sin a二0。根据正弦函 数的定义得出以下基本性质：第一，当Q在0。到180。Z间，sina存在 定义域，并且非负，当a二0°或者是180°吋，sina=0；第二，sin90° =1;第三，sina二sin (180° -a )0平行四边形面积计算，根据以上正眩 函数面积计算分析得出平行四边形的面积公式，SABCD=ABXADsinA=absin a o 2 ?三角形的血积计算 1三角形面积计算公式 S AABC=l/2底X高，？？底为b时，高为CsinA,所以SA ABC=l/2bcsinA=l/2acsinB=l/2absinCo以该公式为基础，左右面积公式 中的各项同时除以l/2abc ,便得到：在任意的三角形中， s i nA/a=s i n B/b 二 s i nC/c=2SAABC/abc o 2基于三角形面积的正弦应用 对于三角函数的应用，除了可以进行面积的定义还可以解决比较抽象 的三角问题。例1, Za>ZP>0, Za+Z3 Z3>0,所以设定a - (3角， 为了明确出Q角，以下图的方式设定B角，角A二a-B+B二a,由面积公 式能够计算出工1/2ADO ACsina >1/2ADO ABsinB,由图形中AB=AC,得 出 Sin a >sin B。 例2,三角形ABC中，Z A的角平分线为AP,证明三角形中AB/AC=BP/CP。 证明过程为：BP/CP为三角形的边BC上的两条线段的比值，由于该两 条线段多对应的角度相同，并且在三角形中共同一个高。因此，可以借助 正弦求三角形面积的方式，通过三角形面积来比较二者的长度。则有： BP/CP=SAAPB/SAAPC=l/2AB?AP?sin a 与 l/2AC?AP?sin a 的比值，即等于 AB/ACo最终得出结论AB/AC二BP/CP。 3?“用面积定义正弦”的意义与经验总结 基于“用面积定义正弦”的教学方式在高中数学教学中应用，使得我 们的数学思维有所开拓。 1教学意义 基于面积定义正弦的教学方式在高中数学课堂上的应用，具有较为明 显的教学作用。面积与止弦函数之间的转换，实际上是一种的形与数的结 合，基于数形结合的教学思想在高屮数学教学屮的应用，能够化繁为简， 将书本中的难点文字叙述部分转化为图形，化抽象与具体，使得学牛在学 习中能够清晰的理解书本中的概念。三角函数的不同转换知识对于我们来 说其难度比较大，数学概念大部分比较抽象，而概念教学是数学教学开展 的基础。但是很多学生在高一数学学习的第一环节出现困惑。这是由于教