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惩罚函数法 惩罚函数法是一种用来求解约束优化问题的间接解法。 基本思想：将约束优化问题转化为一系列的无约束优化问题来进行求解，逐步逼近目标函数的最优解。该法也称为SUMT（Sequence Unconstrained Minimization Technique）法，亦称为序列无约束极小化方法。采用惩罚函数法进行求解时，是在原目标函数中添加一些与约束函数相关的项，形成一个新的目标函数（惩罚函数），并以它取代原目标函数，然后用无约束优化方法求新目标函数的最优解。 根据惩罚项的函数形式不同，可以分为内点法、外点法和混合法三种。 内点法 1. 基本原理 内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。。 内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。 对于目标函数为 min s.t. （u=1,2,3,…m） 的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为 或者 而对于受约束于的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为 或 式中，-----惩罚因子，是递减的正数序列，即 通常取。 上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。 说明： 当迭代点在可行域内部时，有（=1，2，3，4，…m），而，则惩罚项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不会触及约束边界。 2. 内点法的迭代步骤 （1）取初始惩罚因子，允许误差； （2）在可行域内取初始点，令； （3）构造惩罚函数，从点出发用无约束优化方法求解惩罚函数的极值点； （4）检查迭代终止准则：如果满足 或 则停止迭代计算，并以为原目标函数的约束最优解，否则转入下一步； 根据情况，终止准则还可有如下的形式： 或 或 5）取，转向步骤3）。 递减系数，常取0.1，亦可取0.02。 采用内点法应注意的几个问题： （1）初始点的选取 初始点必须严格在可行域内，满足所有的约束条件，避免为约束边界上的点。 如果约束条件比较简单，可以直接人工输入；若问题比较复杂，可采用随机数的方式产生初始点，具体方程参照复合形法介绍。 （2）关于初始惩罚因子的选择。实践经验表明，初始惩罚因子选的恰当与否，会显著地影响内点法的收敛速度，甚至解题的成败。 若值选得太小，则在新目标函数即惩罚函数中惩罚项的作用就会很小，这时求的无约束极值，犹如原目标函数本身的无约束极值，而这个极值点又不大可能接近的约束极值点，且有跑出可行域的危险。相反，若值取得过大，则开始几次构造的惩罚函数的无约束极值点就会离约束边界很远，将使计算效率降低。可取1～50，但多数情况是取。 通常，当初始点是一个严格的内点时，则应使惩罚项在新目标函数中所起的作用与原目标函数的作用相当，于是得 倘若约束区域是非凸的且初始点亦不靠近约束边界，则的取值可更小，约为上式算得值的0.1～0.5倍。 内点法的计算程序框图 例题：用内点法求 min s.t. （u=1,2,3,…m） 的约束最优解。（取0.001） 解：构造内点惩罚函数为 用极值条件进行求解 ， 联立上式求得 ， 由于约束条件的限制，可得无约束极值点为 当取1，0.1,0.01,…→0时，可得最优解为 ， 编程方式实现： 惩罚函数 function f=fun(x,r) f=x(1,1)^2+x(2,1)^2-r*log(x(1,1)-1); 步长的函数 function f=fh(x0,h,s,r) %h为步长 %s为方向 %r为惩罚因子 x1=x0+h*s; f=fun(x1,r); 3. 步长寻优函数 function h=fsearchh(x0,r,s) %利用进退法确定高低高区间，利用黄金分割法进行求解 h1=0;%步长的初始点 st=0.001; %步长的步长 h2=h1+st; f1=fh(x0,h1,s,r); f2=fh(x0,h2,s,r); if f1f2 h3=h2+st; f3=fh(x0,h3,s,r); while f2f3 h1=h2; h2=h3; h3=h3