为什么圆面积的导数是周长,而正方形不是？.pdf

2012年第 1O期 中学数学研究 39 为什么圆面积的导数是周长 ，而正方形不是? 江苏省东台市安丰中学 (224221) 崔志荣 1、一则博文的思考 (47rr) =47rF2立方体也有类似性质：设立方体 最近在华中师范大学彭翕成老师的博客上，学 中心到六个面的距离为r，则体积为8r，表面积为 习了一则博文： 24r，而 (8r) =24r。． 一 位网友问：为什么圆的面积和周长之间有这 在正方形和圆之间，我 D 么奇妙 的性质 ：(7rr) =2仃r，而正方形面积 的导 们还可以搭一个桥梁，就是正 数：(a) =2a，而不是周长4口． 多边形．如图2，设正 边形中 E 笔者当时的回答 ：第一 ，圆具有的性质 ，正方形 心到边的距离为 r，则面积为 未必会有，否则圆和正方形还有什么区别?第二，某 几何对象是否具有某性质，不能随便下判断，必须从 ． ． 2rta堡 ．， 周长为 n 该对象的定义出发，推导而来．譬如可以根据定义计 ， … ’ ’ 2rtan 而 1 算lim ± =lim(27rr+7r~d)=27rr 凡 I图 2 ， 而直接利用求导公式则更快． 2rtan ．n、，：2rtan 经过一段时间的思考，笔 彭老师将正 凡边形中心到边 的距离与圆的半径 者认为可 以从一个新的角度 作类比，得出面积的导数恰为周长，类比的合理性， 看待这一 问题．在 圆中，考虑 不言而喻．但具体的原因是什么呢?这就需要从导数 的是半径r，而在正方形中，考 的概念出发，探求面积导数的意义，剖析其缘 由，从 虑的是边长 a．这样的类 比显 而揭示其本质，发现规律． 然是不合适的．如果设正方形 2、探求缘 由 中心到四边 的距离为 r(如图 图1 首先，让我们先来看圆面积s(r)=仃r的导数， 1)，则面积为4r，周长为 8r，而(4r) =8r．这样来