直线与椭圆的位置关系练习题三.doc

PAGE 16 PAGE 15 直线与椭圆的位置关系练习题三 1．椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。 （1）由条件，所以，代入点可得 （2）联立椭圆和直线方程可得直线，所以 ，结合相交弦的公式得到结论。 解：（1）由条件，所以，代入点可得，椭圆的标准方程为； （2）联立椭圆和直线方程可得直线，所以 由相交弦长公式可得 2．（本小题12分）离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为、，是坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于相异两点、，且，求．(其中是坐标原点) 【答案】（1）；（Ⅱ）。 【解析】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键． （1）利用椭圆的几何性质可知道参数a,b,c的值，进而求解得到。 （2）由 结合韦达定理得到向量的关系式以及参数k的值。 解：（1）依题意得 3分 解得，故椭圆的方程为6分 （Ⅱ）由7分 设，则 8分 10分 ，从而 12分 3．（本小题12分）椭圆的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于两点。 （1）求的周长； （2）若的倾斜角为，求的面积。 【答案】（1）， 的周长为。 （2）。 【解析】本题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用． （1）由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．再由a2=4，能导出△ABF2的周长． （2）由F1（-1，0），AB的倾斜角为 ，知直线AB的方程为y=x+1．由 消去x，得7y2-6y-9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理能够求出△ABF2的面积． 解：（1）由椭圆的定义， 得，， 2分 又，所以的周长 为。4分 又因为，所以，故的周长为5分 （2）由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为， 故直线的方程为。6分 由消去，得， ………………8分 设，解得， …10分 所以…………12分 4．直线与椭圆交于，两点，已知，，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值； （Ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）三角形的面积为定值。证明见解析 【解析】(I)由e和椭圆过点可得到关于a,b的两个方程，从而解出a,b值求出椭圆的方程. (II) 设的方程为，由已知得： 然后直线方程与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理建立关于k的方程求出k值. (III)要讨论AB斜率存在与不存在两种情况.研究当AB斜率存在时，由已知，得,又在椭圆上， 所以 ,从而证明出为定值. 解：（Ⅰ）∵ ……2分 ∴ ∴椭圆的方程为……………3分 （Ⅱ）依题意，设的方程为 由 显然 ………………5分 由已知得： 解得 ……………………6分 （Ⅲ）①当直线斜率不存在时，即， 由已知，得 又在椭圆上， 所以 ,三角形的面积为定值．……7分 ②当直线斜率存在时：设的方程为 必须 即 得到， ………………9分 ∵，∴ 代入整理得： …………10分 …………11分 所以三角形的面积为定值． ……12分 5．已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面 积的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。 （1）设， 依题意得……2分 解得，解得。 （2）联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式得到结论。 解：（1）设， 依题意得……………2分 解得 …………………………3分 椭圆的方程为 ……………4分 （2）①当AB ……5分 ②当AB与轴不垂直时， 设直线AB的方程为， 由已知得 ……………6分 代入椭圆方程，整理得 ……………7分 当且仅当时等号成立，此时 ……………………………10分 ③当…．．11分 综上所述：， 此时面积取最大值 …………………