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第一章：数值分析与科学计算引论 截断误差：近似解与精确解之间的误差。 近似值的误差e*（x e 近似值的误差限ε* x 近似值相对误差er*（ e 近似值相对误差限εr ε 函数值的误差限ε* ε 近似值x*=±(a ε ε 第二章：插值法 1.多项式插值 P 其中： a 2.拉格朗日插值 L n次插值基函数： l 引入记号： ω 余项： R 3.牛顿插值多项式： P n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）： f 余项： R 4.牛顿前插公式（令x=x P n阶差分： ? 余项： R 5.泰勒插值多项式： P n阶重节点的均差： f 6.埃尔米特三次插值： P 其中，A的标定为： P 7.分段线性插值： I 第三章：函数逼近与快速傅里叶变换 1. Sx属于 n维空间φ S 2.范数： x x x 3.带权内积和带权正交： f, f 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）： 最优一致（∞-范数）逼近多项式P* f 最佳平方（2-范数）逼近多项式P* f 最小二乘拟合（离散点）P* f- 5.正交多项式递推关系： φ φ α 6.勒让德多项式： 正交性： -1 奇偶性： P 递推关系： n+1 7．切比雪夫多项式： 递推关系： T 正交性： -1 Tnx在-1 x Tn+1x在a, x 首项xn的系数： 8.最佳平方逼近： f 法方程： j=0 正交函数族的最佳平方逼近： a 9.最小二乘法： δ 法方程： j=0 正交多项式的最小二乘拟合: a 第四章 数值积分与数值微分 1.求积公式具有m次代数精度 求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m的多项式成立，m+1 a 2.插值型求积公式 I R 3.求积公式代数精度为m时的余项 R 4.牛顿-柯特斯公式：将a,b划分为n等份构造出 I 5.梯形公式：当n=1时，C T= 6.辛普森公式：当n=2时，C S 7.复合求积公式：h= 复合梯形公式： T 复合辛普森公式： S 8.高斯求积公式（求待定参数xk和A （1）求高斯点（xk）：令 ωn+1x=(x-x0)(x-x1)?(x-x （2）求待定参数Ak：abρ(x)f(x)dx 9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为ρx=1的勒让德多项式 10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为ρx=1 第五章 解线性方程组的直接方法 1.矩阵的从属范数： A A A 2.条件数： cond cond 第六章 解线性方程组的迭代法 1.迭代法： A M x x 2.迭代法收敛：limk 3.迭代法收敛的充分必要条件：ρB<1， 4.渐进收敛速度：RB=-ln 5.雅可比迭代法： A A D x x 6.高斯-塞德尔迭代法： A A M x x 7.严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。 a 8.弱对角占优矩阵：若此矩阵也为不可约矩阵，则其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。 a 其中，可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式，否则为不可约矩阵。 P 9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。 A A M M x L f x 10.最速下降法：A是对称正定矩阵 A 令： x 使下式最小： φ 则： dφ 其中： p 故而： x 11.共轭梯度法： （1）令x0=0，计算 （2）对k=0 x α r p β （3）若r(k) 第七章 非线性方程与方程组的数值解法 1.二分法：1）计算f(x)在有根区间a, 2）计算区间中点值f 3）判断fa+ 2.不动点迭代法： f x x 3.不动点迭代法收敛： lim 4. φ(x)在a, a φ L 5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，则不动点迭代法收敛，误差为： x 6.局部收敛：存在x*的某个邻域内的任意的x0，迭代法产生的序列收敛到 7.不动点迭代法局部收敛：其中x*为φ(x)的不动点， φ 8. P阶收敛：当k→∞时，迭代误差ek= 9.牛顿（m重根）法: x 10.简化的牛顿法： x 11.牛顿下山法： x 从λ=1开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件：f 12.弦截法： x 第八章 矩阵特征值计算 1.格什戈林圆盘：以aii为圆心，以ri为半径 r 2. A的每个特征值必属于某个圆盘之中： λ- 3. A有m个圆盘组成一个连通的并集S，S与和余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的 4.幂法： 设A的特征值满足条件：λ 任取非零向量v0，构造向量序列， 假设： v 则： v lim 5.收敛速度： 6.幂法改进： u v lim lim 7.加速方法（原点平移法）：构造矩阵B，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速。 B r= 8.