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经济计量学 第二章 一元线性回归模型 也就是说，当父母双亲都异常高或异常矮，则子女的身高有趋向于人口总体平均身高的趋势。这种现象被称为高尔顿普遍回归定律。这就是回归一词的原始含义。 在现代，回归一词已演变为一种新的概念。回归分析就是研究被解释变量对解释变量的依赖关系，其目的就是通过解释变量的已知或设定值，去估计或预测被解释变量的总体均值。在下面的几个例子中，我们可以清晰地看到回归分析的实际意义。 1．高尔顿普遍回归定律。高尔顿的目的在于发现为什么人口的身高分布有一种稳定性。在现代，我们并不关心这种解释，我们关心的是：在给定父辈身高的情形下，找到儿辈平均身高的变化规律。 就是说，我们如果知道了父辈的身高，就可预测儿辈的平均身高。假设我们得到了一组父亲、儿子身高的数据，制成如下的散点图。图中按统计分组的方法将父亲身高分为若干组。 2．在经济学中，经济学家要研究个人消费支出与个人可支配收入的依赖关系。这种分析有助于估计边际消费倾向，就是可支配收入每增加一元引起消费支出的平均变化。 4．农业工作需要预计粮食产量，需要研究粮食产量与播种面积、施肥量、降雨量之间的依赖关系。 这种一个变量依赖于另一个或多个变量的事例在经济系统中普遍存在。回归分析就是要研究这种变量之间的依存关系。 二、统计关系与确定性关系 如果给定一个变量X的结果值就可确定另一个变量Y 的结果值，则称变量Y是变量X 的函数，即X、Y之间是函数关系。 在经济系统中， 这种变量之间的函数关系或确定性关系就很少见 。常见的是变量之间是一种不确定的关系，既使变量X 是变量Y 的原因， 给定变量X 的值也不能具体确定变量Y的值， 而只能确定变量Y 的统计特征，通常称变量X 与Y 之间的这种关系为统计关系。 而在回归分析中，我们的主要目的在于根据其它变量的给定值来估计或预测某一变量的平均值。例如，我们想知道能否从一个学生的数学成绩去预测他的统计学平均成绩。 在回归分析中，被解释变量Y 被当作是随机变量，而解释变量X 则被看作非随机变量。而在相关分析中，我们把两个变量都看作是随机变量。 我们研究每月家庭消费支出Y 与每月可支配收入X 的关系。就是说，已知家庭每月可支配收入，要预测家庭每月消费支出的总体平均水平。为此，将80户家庭分为10组。表4.1给出了人为数据。 表4.1给出了以X 的给定值为条件的Y 的条件分布。 对于Y 的每一条件分布，我们能计算出它的条件期望，记为E（Y/X=Xi），即在X取特定Xi 值时Y 的期望值。例如，X=1000时，Y 的期望值为： 将表4.1中的数据在直角坐标系中描出，则得到图4.2的散点图。 该图表明了对应于各X 值的Y 的条件分布。虽然每个个别家庭的消费支出都有异，但图4.2清楚地表明随着收入的增加，消费支出平均地说也在增加。就是说，散点图启示我们，Y 的条件均值随X 的增加而增加。 如果我们观察图4.2中那些代表Y 的各个条件均值的粗圆点，则表明这些条件平均值落在一根有正斜率的直线上。我们称这根直线叫做总体回归线，它是Y 对X 的回归。 总体回归线就是当解释变量取给定值时,被解释变量的条件均值或期望值的轨迹。 图4.2表明，对每一Xi 都有Y 值的一个总体和一个相应的均值。而回归线是穿过这些条件均值的线。 式（4.1）就是总体回归函数，简称总体回归。它表明在给定Xi 下Y 的分布的总体均值与Xi有函数关系，就是说它给出了Y 的均值是怎样随X 值的变化而变化的。 函数f (Xi)采取什么函数形式，是一个需要解决的重要问题。在实际经济系统中，我们不会得到总体的全部数据，因而就无法据已知数据确定总体回归函数的函数形式。同时，对总体回归函数的形式只能据经济理论与经验去推断。 按这种解释 就不是线性的，因为 对 的一阶导数不是常数。 此时， 就是线性回归函数。但 则不是线性回归函数，而是非线性回归函数。 在本课中，主要考虑的是对参数为线性的回归模型，线性回归是指