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目录
1 引言1
2 单级倒立摆数学模型的建立1
3 开环响应分析3
4根轨迹法设计控制器6
4.1根轨迹相应参数的确定6
4.2 校正和仿真结果7
5 频率特性法设计控制器14
6 PID控制器设计20
6.1 PID控制20
6.2 PID控制参数的确定21
7 设计感想25
参考资料26
1引言
倒立摆是一种典型的快速多变量非线性绝对不稳定非最小相位系统。由于
它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有极大的相似性，因而对其进行研究是具有重要的理论和实践意义。同时由于倒立摆结构简单，成本低廉，因而成为人们学习研究和验证各种控制理论的理想装置。
本文以单级倒立摆为研究对象，运用牛顿动力学方法为其建立数学模型，并基于根轨迹法频率特性法和PID法对此系统的控制器进行设计和仿真，对实验结果的比较与分析。
2单级倒立摆数学模型的建立
M：小车质量 1.096kg
m：摆杆质量 0.109kg
b：小车摩擦系数 0.1N/sec
l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
I：摆杆惯量 0.0034kgm2
F加在小车上的力
X小车的位置
摆杆与垂直向上的夹角
摆杆与垂直向下的夹角 下图为摆杆与小车的受力分析图
N和P为摆杆与小车相互作用的水平和垂直方向的分量。
直线一级倒立摆模型
小车及摆杆受力情况分析
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
由摆杆的受力方向分析可得如下公式：
对摆杆垂直方向合力的分析可得下面的方程：
力矩平衡得：
由以上公式可得系统的运动方程分别为：
如果令，进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车位移的传递函数：
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
其中
代入数据可得系统的实际模型：
3开环响应分析
在Matlab下输入如下命令行：
M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
I= 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;
num = [m*l/q 0 0]
den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0]
% open loop system response for impluse signal
t = 0 : 0.05 : 5;
impulse( num , den , t )
axis ( [ 0 1 0 60 ])
运行后可以得到开环响应图如下：
开环响应曲线
由图可知该系统的响应曲线是发散的，不收敛，所以系统不稳定。
然后对该系统进行仿真：
输入开环响应电路图如下：
开环响应仿真电路图
可得到仿真后的结果：
输入小车加速度时小车位置的单位脉冲响应
输入为小车加速度时摆杆角度的单位阶跃响应
图 输入为小车加速度时小车位置的单位阶跃响应
4根轨迹法设计控制器
4.1根轨迹相应参数的确定
开环传递函数为：
由及可得：
0.591155
0.938306
又由 可得：
13.5328
可以得到期望的闭环极点为：
设控制器为：
已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为：
因此校正装置提供的相角为：
对于最大的值的角度可由下式计算得到：
得到
按最佳确定法作图规则，画出相应的直线，可得到超前校正装置的零点和极点，分别为：
校正后的开环传递函数为：
由幅值条件，并设反馈为单位反馈，则k=141.137
则系统的控制器为：
4.2校正和
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