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1.【2017天津,理18】已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】
(II)解:设数列的前项和为,
由, ,有,
故,
,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
2.【2017江苏,19】 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.
【答案】(1)见解析(2)见解析
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时, ,①
当时, .②
由①知, ,③
,④
将③④代入②,得,其中,
所以是等差数列,设其公差为.
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以数列是等差数列.
3.【2017山东,理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1, 1),P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,所围成的区域的面积.
【答案】(I)(II)
(II)过……向轴作垂线,垂足分别为……,
由(I)得
记梯形的面积为.
由题意,
所以
……+
=……+ = 1 \* GB3 ①
又……+ = 2 \* GB3 ②
= 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得
=
所以
4.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等差中项.
(Ⅰ)设,求证:是等差数列;
(Ⅱ)设 ,求证:
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析
【解析】
(Ⅰ)证明:由题意得,有,
因此,所以是等差数列.
(Ⅱ)证明:
所以.
5.【2016高考新课标3理数】已知数列 QUOTE an 的前n项和 QUOTE Sn=1+a , QUOTE Sn=1+an 其中.
( = 1 \* ROMAN I)证明 QUOTE an 是等比数列,并求其通项公式;
( = 2 \* ROMAN II)若 QUOTE S5=3132 ,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,
解得.
6.【2016高考浙江理数】设数列满足,.
(I)证明:,;
(II)若,,证明:,.
【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析.
【解析】(I)由得,故
,,
所以
,
因此
.
(II)任取,由(I)知,对于任意,
,
故
.
从而对于任意,均有
.
由的任意性得. = 1 \* GB3 ①
否则,存在,有,取正整数且,则
,
与 = 1 \* GB3 ①式矛盾.
综上,对于任意,均有.
7.【2016年高考北京理数】(本小题13分)
设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;
(2)证明:若数列A中存在使得>,则 ;
(3)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.
【答案】(1)的元素为和;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(Ⅲ)当时,结论成立.
以下设.
由(Ⅱ)知.
设.记.
则.
对,记.
如果,取,则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素,所以.
从而对任意,,特别地,.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数p不小于.
8.【2016年高考四川理数】(本小题满分12分)
已知数列{ }的首项为1, 为数列的前n项和, ,其中q>0, .
(Ⅰ)若 成等差数列,求的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线 的离心率为 ,且 ,证明:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】(Ⅰ)由已知, 两式相减得到.
又由得到,故对所有都成立.
所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列,可得,即,则,
由已知,,故 .
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
所以双曲线的离心率 .
由解得.
因为,
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