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§1
1.10 (1) (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC),
(2) (AΔB) ∩ C = (A ∩ C)Δ(B ∩ C),
(3) (A ∪ A )Δ(B ∪ B ) ⊂ (A ΔB ) ∪ (A ΔB ).
1 2 1 2 1 1 2 2
Proof
(1) (AΔB)ΔC = ([A ∩ Bc c c c c c
∪ A ∩ B] ∩ C ) ∪ ([A ∩ B ∪ A ∩ B] ∩ C)
=(A ∩ Bc c c c c c
∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪ [(A ∩ B ∪ A ∩ B) ∩ C]
=A ∩ (Bc ∩ Cc ∪ B ∩ C) ∪ Ac ∩ (B ∩ Cc ∪ Bc ∩ C)
=A ∩ [(B ∪ C) ∩ (Bc c c c
∪ C )] ∪ A ∩ (BΔC)
c c c c
=A ∩ [B ∩ C ∪ C ∩ B ] ∪ A ∩ (BΔC)
=A ∩ (BΔC)c ∪ Ac ∩ (BΔC)
=AΔ(BΔC).
(2) (A ∩ C)Δ(B ∩ C) =(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)c ∪ (A ∩ C)c ∩ (B ∩ C)
c c c c
=A ∩ C ∩ (B ∪ C ) ∪ (A ∪ C ) ∩ (B ∩ C)
=A ∩ Bc ∩ C ∪ Ac ∩ B ∩ C
=(A ∩ Bc ∪ Ac ∩ B) ∩ C
=(AΔB)ΔC.
(3) (A ∪ A )Δ(B ∪ B )=(A ∪ A ) ∩ (B ∪ B )c ∪ (A ∪ A )c ∩ (B ∪ B )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
=A1 ∩ Bc ∩ Bc ∪ A2 ∩ Bc ∩ Bc ∪ Ac ∩ Ac ∩ B1
1 2 1 2 1 2
∪ Ac ∩ Ac ∩ B2
1 2
⊂A1 ∩ Bc ∪ A2 ∩ Bc ∪ Ac ∩ B1 ∪ Ac ∩ B2
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