线性代数第五节二次型.ppt

第六章二次型 一、ｎ元二次型的概念 1、二次型及其矩阵 的二次齐次多项式 定义5.1 含有ｎ个变量 ① 称为二次型． 或记为 注 ①当常数项为实数时，称为实二次型； ②当常数项为复数时，称为复二次型． 定义 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形． 定义 特别地，称 为二次型的规范形． ２、二次型 的矩阵表示 ③ ② １、二次型 的和式表示 则二次型　　　　 ． 其中矩阵Ａ为对称矩阵. 令 任一二次型ｆ 对称矩阵Ａ 任一对称矩阵Ａ 二次型ｆ 一一对应 ｆ称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型ｆ的矩阵； 对称矩阵Ａ的秩称为二次型ｆ的秩． 3）复数域Ｃ上的４元二次型 例１1）实数域Ｒ上的２元二次型 2）实数域上Ｒ的３元二次型 练习　写出下列二次型的对称矩阵． (二)．线性变换 定义5.2 关系式 称为由变量 到变量 的一个线性变量替换,简称 线性替换 矩阵 线性替换的矩阵. 时称该线性替换为 非退化的线性替换. 以上线性替换可以表示为 即线性替换是非退化的,则 代入二次型xTAx, 则 其中B=CTAC为对称矩阵. 因此yTBy是以B为矩阵的n元二次型 例题 将以下二次型化为标准形 定义 设Ａ,Ｂ为ｎ阶方阵，若存在ｎ阶可逆阵Ｐ， 则称Ａ合同于Ｂ,记为 ①反身性 ②对称性 ③传递性 性质 ④合同矩阵具有相同的秩. ⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵. 等价 使得 5.2二次型与对称矩阵的标准形 (一)用配方的法化二次型为标准形． 定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形. 5.2二次型与对称矩阵的标准形 (一)用配方的法化二次型为标准形． 定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形. 例题 * *