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有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构 成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成 各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特 性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成， 单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行 模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼 近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设 的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应 力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少 的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时 间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2 ）非线性问题不能采用叠加原理； 3 ）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移 呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普 遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试 验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们 的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2 ）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一 般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应 变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为 大应变问题。 3 ）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属 于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振 器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑 非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分 为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插 值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数 组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不 同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 1.加权余量法： 是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。 （Weighted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条 件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一 种有效的方法。 设问题的控制微分方程为: 在V 域内 L (u )  f 0 (5.1.1) 在S 边界上 B (u )  g  0 (5 .1 .2 ) 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数 混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部 法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难， 但试函数一经建立，其工作量较小。 无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点： (1)试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数有幂级数、三角 级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。 (2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导 数连续性。 (3)试函