11-3含参变量的广义积分.ppt

三、? 函数和B函数 2. 性质 (2) (4) Γ函数与Β函数之间的关系 例 计算 解 解 因此分成两部分讨论, 对于 函数的定义式为： 2. * 设 是定义在无界区域 上, 若对每一个固定的 , 反常积分 都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,表为 称为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分, 或 简称为含参量反常积分. 对于含参量反常积分 和函数 则称含参量反常积分 在 上一致收敛于 . 对于含参量反常积分 和函数 则称含参量反常积分 在 上不一致收敛 一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分 在 上一致收敛的充要 定理1（M判别法）: 设有函数 ,使得 从而 所以 关于 一致收敛。 证明 因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西 准则，有 例 1 在 内一致收敛 解 因为 而积分 收敛， 所以 在 内一致收敛 含参量反常积分 在 上一致收敛. 证明反常积分 在 上一致收敛. 证明含参量反常积分 在 上一致收敛 . 含参量反常积分 在 上一致收敛 . 定理2（狄利克雷判别法） 定理3（阿贝尔判别法:） 证明含参量反常积分 在 上一致收敛. 在 上一致收敛. 连续性 即: 可微性 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算 可以交换.即 可积性 例5 计算积分 解 例 6 利用积分号下求导求积分 解 因为 因为 故 由数学归纳法易证 于是 例7 计算积分 解 令 在第二项积分中令 得 故 对于含参量反常积分 和函数 则称含参量反常积分 在 上一致收敛于 . 定理7（M判别法）: 设有函数 ,使得 连续性 即: 可微性 可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算 可以交换.即 可积性 1. 定义 下面证明这个特殊函数在 内收敛 . 令 综上所述 , (1) 递推公式 证: (分部积分) 证: (3) 余元公式: (证明略) 得应用中常见的积分 这表明左端的积分可用 ? 函数来计算. 例如,