[理学]线性代数第六章.ppt

第六章、二次型 第一节 二次型 第二节 化二次型为标准形 第三节 惯性定理 第四节 正定二次型与正定矩阵 则原二次型f 又可化为标准形 比较 f 的二个标准形，可以发现 f 的标准形虽然不唯一，但是 f 的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的惯性定理。 定理1 (惯性定理) 对于秩为r 的n元二次型 不论用什么可逆线性变换，把f 化为标准形，其中正平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的，且p+q=r . 定义1 在二次型f (x1,x2,..., xn)=XAX的标准形中，正平方项的个数p称为二次型 f 的正惯性指数，负平方项的个数q=r-p称为二次型 f 的负惯性指数，它们的差p-q称为二次型 f 的符号差。 推论1 对于任何二次型 都存在可逆线性变换X=CY，使 其中p、q分别为f 的正、负惯性指数。 （6.15）式右端称为二次型f 的规范形，显然，它是唯一的。 由惯性定理可得下面的推论: 定义1 实二次型f (x1, x2 ,... , xn)=XAX，如果对任意的非零向量X = (x1, x2, ... , xn) , 都有 f (x1, x2, ... , xn)0 (或 f (x1, x2, ... , xn)0), 则称二次型 f 为正定（或负定）二次型，其对应的矩阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 A0（或A0） * 二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。 定义1 n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式 称为一个n元二次型，简称二次型。 (6.1) 当所有系数aij为复数时,称f 为复二次型； 当所有系数aij为实数时,称f 为实二次型。 取 ，则有 从而(6.1)式可写成 令 则用矩阵将二次型(6.1)可写成 其中矩阵A为实对称矩阵。 由于矩阵A的主对角线元素aii是二次型f 中平方项xi2的系数，其余元素aij=aji(i ≠j)正是中交叉项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。 我们称对称阵A为二次型f 的矩阵,称矩阵A的秩为二次型 f 的秩。 例1 将二次型 表示为矩阵形式,并写出 f 的矩阵和 f 的秩。 解: 因此，f 的矩阵为 由于矩阵A的秩为2，从而二次型 f 的秩为2。 定义2 设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表示,即存在常数cij (i,j=1,2,…,n),使 (6.3) 成立。则称此关系式为由变量 x1,x2,...,xn到变量 y1,y2,...,yn的一个线性变换，或简称线性变换。 设 则(6.3)可以写成以下矩阵形式 当|C|≠0时,称X=CY为可逆(或非退化)线性变换. 显然,可逆线性变换是一一对应的 在处理许多问题时, 常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(6.1)进行可逆线性变换 X=CY, 则 记 ,上式为 因为A是对称矩阵, 所以 即B也是对称矩阵, 从而 是一个关于变量 的n元二次型,于是得到下面的定理 后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为 定理1二次型 经可逆线性变换 之 定义3 对于两个n阶矩阵 A、B，若存在n阶可逆矩阵C ，使 ，则称矩阵 A与B合同。 矩阵的合同关系与相似关系类似, 也是一种特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递性。 由定理1可知, 经过可逆线性变换后, 新旧二次型的矩阵彼此合同，又合同矩阵具有相同的秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。 定义1 只含平方项而不含交叉项的二次型: 称为标准形式的二次型,简称为标准形。 显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法：正交变换法和配方法。 一、正交变换法 定理1 任意一个n元二次型 (A实对称)总可以经过正交变换X=QY (Q为正交矩阵)化为标准形 (6.6) 其中? 1, ? 2,..., ? n是矩阵A的全部特征值。 式(6.6)称为二次型在正交变换下的标准形。 证：因为矩阵A是实对称阵，一定存在正交矩阵Q，使得 其中? 1, ? 2,..., ? n是矩阵A的全部特征值。作正交变换X=QY，则 在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面的化简时，经常用到定理1，通常称为主轴定理。 可以证明, 正交变换保