[理学]线性代数第6章习题课.ppt

第六章 二次型与对称矩阵习题课 6.1 二次型及其矩阵 6.2 二次型的标准形 6.3 合同变换与二次型的规范形 6.4 实二次型分类 正定二次型 7. 证明:两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相同且正惯性指数也相同. 证明(必要性) (充分性) 因实对称矩阵A，B的秩相同, 正惯性指数相同，所以矩阵A，B的负惯性指数也相同，从而A，B的规范形相同，故A，B合同. 因A为实对称矩阵, 所以Ａ必合同于对角矩阵 ，则对角矩阵的主对角元中,正数的个数即为A的正惯性指数,负数的个数即为A的负惯性指数,从而非零元素的个数为A的秩. 而A与Ｂ合同，由合同的传递性，Ｂ也合同于 。因此A，B的秩相同，正惯性指数也相同. 8. 与方阵 合同的方阵是( ). 正确答案B 9. 设A,B都是n阶实对称矩阵,则A,B合同的充分必要条件是（ ）. (A) A,B的秩相同; (B) A,B都合同对角矩阵; (C) A,B的特征值相同; (D) A,B对应的二次型有相同的标准形. (D)正确 10. 设矩阵 则A，B的关系为（ ）. (A)合同且相似; (B)相似但不合同; (C)合同但不相似; (D)既不合同也不相似. 解 显然A为实对称矩阵,故必存在正交矩阵P,使 其中 为A的3个特征值. 故特征值为 所以A,B既合同又相似. (A)正确 11. 设A，B均是同阶可逆实矩阵，则（ ）. (A) AB=BA; (B) 存在可逆矩阵P, 使P-1AP=B; (C) 存在可逆矩阵Q, 使QTAQ=B； (D) 存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B. (D)正确 12. 若A既是正交矩阵,又是正定矩阵, A=_______. 解 因为A是正交矩阵,所以 又因为A是正定矩阵,所以A是对称矩阵,得 即 由A是正交矩阵,知A的特征值为1或-1, 又正定矩阵的特征值全为正,故A的特征值全为1, 即-1不是A的特征值,从而 即 也即 可逆, 对(1)式右乘 得A=E 13. 设二次型 问k取何值时,f为正定二次型. 解 二次型的矩阵为 因f为正定二次型,故A的各阶顺序主子式都为正. 得 14. 实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵C, 证明(必要性) 因A为实对称正定矩阵, 故A的特征值 全为正,且存在正交矩阵P,使 使得 故 令 (充分性) 若C可逆， 对任意的非零向量 , 故A正定. 显然C可逆，且 显然A对称 15. n阶实对称矩阵A正定的充要条件是存在n阶正定矩阵B，使得 证明(必要性) 又A是实对称矩阵, 故存在正交矩阵P, 使得 因A为正定矩阵, 故A的特征值 全为正, (充分性) 则对任意的非零向量 , 故A正定. 因B与一个主对角元全为正的对角矩阵相似，故B的特征值全为正，所以B是正定矩阵. 若 , B是正定矩阵,则 即A是对称矩阵, 16. 设A是实对称矩阵,则以下结论正确的是（ ）. (A)若 ,则A正定; (B)若A的主对角线元素全大于零,则A正定; (C)若 存在且正定,则A正定; (D)若存在方阵P,使得 , 则A正定. (C)正确 * 一 主要概念 2.二次型的标准形:只含有平方项的二次型 3.二次型的规范形 4.正定二次型和正定矩阵 存在n阶可逆矩阵P，使得 1.矩阵A,B合同 : 如果任何非零实向量 ，都有 . 则称f为正定二次型, 对称矩阵A称为正定矩阵. 其中p，q，p+q=R(A)由二次型所唯一确定 设A,B都是n阶矩阵,存在n阶可逆矩阵P,使得 A与B合同记作 (4)若A与B合同, 则A与B等价.即 (1)合同具有自反性，对称性和传递性. (5)合同与相似是两个独立的概念 (3)若 且A是对称矩阵,则B也是对称矩阵 (合同矩阵具有相同的秩) 则 矩阵合同 (与对称矩阵合同的必是对称矩阵) 合同的性质 二. 主要结论 A,B对称性不变, A,B正惯性指数相等, A,B负惯性指数相等, (P可逆) 合同 (A,B为方阵) A,B特征值相同, (P可逆) 相似 (A,B为方阵) (P,Q可逆) 等价 化二次型为标准形(规范形)的有关结论 2)任意二次型都可