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与Fibonacci数列有关的竞赛题 1．(1983英国) Fibonacci数列定义为：，． 证明：存在唯一一组正整数，使得，，并且对一切正整数有． 证明：以表示的任意倍数. 由知，与互素；而， 两者作差，因此， ① 当时， 由此知， ② ②乘以得 而为任意自然数，故上式只能是的倍数，即. 再由① ，得；而，，故. 以下用数学归纳法证明：对任意自然数，能被整除.(略) 2．(2006二试二)已知无穷数列满足：，，，. (1)对于怎样的实数与，总存在正整数，使得当时，恒为常数？ (2)求数列的通项. 解：(1)，， 所以，如果对某个正整数，有，则必有，且. 如果该，我们得； 如果该，我们得 ，和， 相乘得，由此递推有或， 反之亦成立，故实数与满足或. (2)由(1)得到 ，记，则， 由此递推得到，(*) 这里，即， 上式中的还可以向负向延伸，如， 这样一来， 对任意均成立. 由此解得， 式中. 注：(*)式的递推可假定，因此，记，则， 而定义，故上式即为，于是，即. 或者 我们定义，，则 用数归来证明：当时，成立；当时，. 假设时，命题成立， 即，成立； 则时， . 即命题成立. 3．证明：有无穷多对正整数、满足： 4．(1991联赛)设是下述正整数的个数：的各位数字之和为，且每位数字只能取、或之一. 求证：是完全平方数. 证明一：依题设，记符合条件的正整数的个数为，显然，，，. 当时，设由、、构成的和为的数为 ， 若，则由、、构成的和为的数有个； 若，则由、、构成的和为的数有个； 若，则由、、构成的和为的数有个； 于是得 ， 特征方程为 ，即，特征根为，，，， 故， 于是，注意到，， ， 这里需说明中的是整数. 证明二：同证一得，，，，，， (1)， 只需证明当时，是完全平方数. 由(1)得 ， 又，代入上式得，于是 令，则，，，且， (2)， 另一方面 补充定义，，则 成立. 令 ，则，，且由(1)可知 (3)， 由此得，且， 由(3)则有 ，于是，，，且， (4)， 比较(3)和(4)及其初值得 ，即. 证明三：同证一得，，，，，， (1)， 先用数学归纳法证明 ，显然时，结论成立； 假设时，结论成立，即， 则时，运用递推关系(1)得 ，即对时，结论成立. 再用数学归纳法证明 ，显然时，结论成立； 假设时，结论成立，即，运用递推关系(1)得 则 ，即对成立. 最后用数学归纳法证明本题结论 显然时，结论成立；设是完全平方数，则由知，是完全平方数， 故结论对任意成立. 证明四：同证一得，，，，，， (1)， 作数列：，，且，下面用数学归纳法证明结论：，. 显然时，结论成立；假设时，结论成立，则当时，由归纳假设及递推关系有 ，. 故结论对于时成立. 证明五(复旦大学舒五昌先生)同法一，我们得到，，，，我们求. 考虑集合的各位数字之和为，且每位数字为或， 记元素个数，则，，当时，，(数列恰好是吕卡斯数列)， 定义法则：对任意，从的最高位数字开始，从左至右看，凡见到数字，即将其与下一 位数字相加，并以其和代替这两位数字，继续做下去，直到不能做为止，如， ，这样即得到一个新数，即，则的各位数字之和仍为， 除末位数字可能为外，其余每位数均为、或， 记所有的构成的集合为，则是到的一个双射，于是，且 若的末位为，这样的“各位数字之和为，且每位数字只能取、或”的数有个； 若的末位不为，“各位数字之和为，且每位数字只能取、或”的数有个. 故 ，即，于是； 下面考虑，的元素可分为两类：? 第一类：中的元素是两个中的元素排成一行拼接而成的，有个； 第二类：中的元素是两个中的元素排成一行，再在中间添上拼接而得，共有个. 于是，故， 由得， 故，而易知，故为完全平方数. 5．求所有的整数对使得定义为 的数列一定包含数字． １．已知数列满足：，，求数列的通项公式. 解：易得，定义：，， 则，且由递推(或数归)得 ，解得. 2．(2002第二届西冬)设、为方程的两个根，令，. (I)证明：对任意正整数，有； (II)求所有正整数、，，满足对任意正整数，有.(李胜宏) 解：(I)注意到，，故， 即，两边同除以得. (显然，，而，故为Fibonacci数列) (II)由条件可知，，即，则，若，则与矛盾，故， 并且对任意正整数，有 ，，， 结合，及为奇数知：(整除它们的线性组合) ，而，故 ①， 在①中取为有， ②， 两式作差有 ，即，故， 而，故，于是，有， 得或，但得，导致，矛盾， 故，即，. 下面证明：当，时，对任意正整数，均有，即. (i)当时，，