高等数学（完整版 第三版 理工类）备课教案02 第二节 洛必达法则.docVIP

第二节 洛必达法则 在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示 ★洛必达法则 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6-7 综合应用 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 ★ 返回 内容要点 一、未定式的基本类型：型与型； 二、未定式的其它类型：型，型，型 (1) 对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算. (2) 对于型，可利用通分化为型的未定式来计算. (3) 对于型，可先化以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为的形式，再化为或型的未定式来计算. 例题选讲 型 例1 (E01) 求 解 原式 例2 (E02) 求 解 原式 注: 上式中, 已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则. 例3 (E03) 求 解 例4 (E04) 求 . 解 注: 若求为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得 例5 (E05) 求 解 例6 (E06) 求 . 解 原式 例7 (E07) 求 (n为正整数, ). 解 反复应用洛必达法则次，得 原式 注：对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数. 例8 求 解 注意到则有 注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷. 例9 (E08) 求 解 当时, 故 例10 (E09) 求 . 解 所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得: 例11 (E10) 求 (型) 解 对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算. 例12 (E11) 求 . (型) 解 对于型，可利用通分化为型的未定式来计算. 例13 求 解 例14求 解 原式 直接用洛必达法则, 计算量较大. 为此作变量替换, 令则当时, 所以 型 步骤 例15 (E12) 求. 解 这是型未定式，将它变形为， 由于 故 . 例16 求 解 例17 (E13) 求 . () 解 将它变形为 由于 故 例18 求 解 例19 求 解 由于 所以 例20 求 解一 利用洛必达法则. 解二 利用两个重要极限. 例21 (E14) 求 . (型) 解 例22 求 解 因为 所以 课堂练习 设有一阶导数, 求 2. 设是未定式极限, 如果的极限不存在且不为, 是否的极限也一定不存在? 举例说明. 洛必达（L’ Hospital，1661~1704）简介： 洛必达(L’Hospital)是法国数学家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。 洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号。青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究。 洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。 洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约。伯努利提出的“最速降线”问题。他是法国科学院院士。 洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程--------《用于理解曲线的无穷小分析》。这部著作出版于1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用。这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点，同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在1691-1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表。不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定期领取薪金。