概率空间上的分形维数.pdf

维普资讯 第44卷 第 3期 武汉大学学报(自然科学敝) V01． 4 No．3 1998年 6月 J．WuhanUniv．(NaturalScienceEdition) l998．279～ 28l 概率空间上的分形维数 余 旌 胡 D2 ‘ (武汉大学孜学科学学院，武汉一430072) 摘 要 设 {X ．≥ 1)是定义在概率空间 (n．F，)有可效状态的随机过程．给出 的盒维效定义并研究其 基本性质，然后得到了集合B的维效的另一种表达式，最后计算了一类集合的分形维数 ． 分类号0211：．：6兰竺 二 三 ．妻弗圣f 莉受技 ima／(1 (叫))一 o，V u‘∈ n 一 1 引言及定义 2 盒维数的定义及有关性质 设 {墨 ，≥1}是定义在概率空间(n，F，)上的 具有可数状态的随机过程，文献[1，2]分别给出了子 定义 1 设 ACD，记 集BOO的a—Hausdorff维数及 a-Packing维数的 dim =一n ， — 定义并得到了一些基本性质 ．文献[3]进一步研究 了Packing维数并计算了一类与有限状态马氏链相 di—m 一 limsup 关的集合的分形维数 ． 分别称它们为 ^的上、下盒维数 ．当二者相等时， 下面给出有关记号及定义 ．设过程 {X ，”≥1) 简记为dim ，且称之为 ^的盒维数 ． 的状态空间 E为可数，不妨记 作 E一 {1，2，…， 注 1 因 ( (叫))一O，一∞ ，V埘∈n，故用球 n，…)．n阶柱集L， = {叫：X】(∞)一a1，…，X (u‘) ． 作 覆盖和用柱集作覆盖等价 ，且diam (， (u‘))一 一口}，其中a．∈E，f一1，…m ， )表示包含 的n (P(∞))，diam(n)≤1．其中diam (^)表示在度量 阶柱集全体 ．令 I。(叫)一n，V ∈n．若 一阶柱集c d 下 ^的直径 ． 一 {u‘：XI(叫)一4I，…，X (u‘)=4}，用 c 表示 c的 定理 1 上一阶柱集，即C ‘一{叫：X (u‘)一口，……X 。(u‘)一 △ (^)≤ dim¨，dim (^)≤ dim (^)