7第七章节 参数估计.ppt

而 所以 的置信区间为 四 非正态总体的参数的区间估计(大样本法) 1. 均值的区间估计 设总体X, EX=a, DX=? 2 0, 求a的区间估计. 根据中心极限定理 因此, 当n相当大时, 近似地有 即a的置信区间为 与X是正态总体时a 的置信区间一样. (近似服从) 当? 未知时,因为n相当大,样本均方差 s 是? 的一个 相合估计,可用 s 代替?, 得 (近似服从) 因此, a的置信区间为 它的置信水平,当 n 相当大时,近似地为1?? ,近似程度 如何,不仅取决于n的大小,还要看总体的分布. 例6 若事件A在每次试验中发生的概率为p, 作n次独立 重复试验, 用?n记A发生的次数, 求p的置信区间. 解: 根据中心极限定理, 当n相当大时, 近似地有 所以 (此题也可以用前面的置信区间) 即 由上式可解出 即p的置信区间为(A, B) 其中A, B是方程 的两个根 即A, B= 其中A取负号, B取正号, (此题也可以用前面的置信区间) 注: 本题根据中心极限定理, 近似服从N(0, 1) 因此, 区间估计(A, B)的置信水平1??也是近似的. 当n较大时, 如n ?30, 相去不远. 事实上,当n较小时, 求p的区间估计意义不大. 因为 的最大值为 若把 的值改为 此时,区间(A, B)的长为 取?=0.05, 有 若要求区间的长不超过0.3 (这是一个很低的要求) 则有 可计算出n ? 39 以上说明: 在试验次数少于40时, 求p的区间估计没有 太大实用意义. 例7 求泊松分布P(?)中未知参数?的置信区间. 解: 泊松分布P(?)的均值和方差均为? 根据中心极限定理, 近似服从N(0, 1) 当n相当大时, 仿照例6的做法,可得?的区间估计(A, B) 其中A, B是方程 的两个根 即A, B= (A取负号, B取正号) X 和Y 的样本, 且 设X1, X2, ... , Xn和 Y1, Y2, ... , Ym分别是取自总体 E(X)=?1, D(X)=?12 2 均值差?1??2的区间估计 假定两个总体及其样本是相互独立的 E(Y)= ?2, D(Y)=?22 由中心极限定理可知, 当样本容量相当大时, 均近似服从正态分布, 因此, 也近似服从正态分布 因为 所以 近似服从N(0, 1) 这样,就得到?1? ?2的置信区间 若总体方差是未知的,可用样本方差代替上式的?12 ,?22 例8 有甲,乙两台机床加工同类产品,从两台加工的产品 中,各随机抽取若干件,测得产品直径的样本均值和标准差 分别为: n1=100, s1=0.37 n2=80, s2=0.40 求两总体均值差?1??2的置信区间. (取1??=0.99) 3 比率差异p1? p2的区间估计 有两个相互独立的两点分布总体X, Y A出现 A不出现 B出现 B不出现 设从总体X中抽取容量为 n的样本,A出现的次数为?n 设从总体 Y中抽取容量为m的样本, B出现的次数为?m P(A)=p1 P(B)=p2 在点估计中,用 估计p1 估计p2 因此,当样本容量充分大时 近似服从N(0, 1) 在实际问题中,因为p1, p2未知,因此方差 也未知 此时可用p1, p2的估计量 分别代替它们 则有 近似服从N(0, 1) 由此可求得p1? p2置信区间 (A, B) A, B= (A取负号, B取正号) 注: 一般地, 如果一个统计方法是基于有关变量的当样本 容量n很大时的极限分布, 则称这一统计方法为“大样本 方法”. 反之, 若依据的是有关变量的确切分布,则称为 “小样本方法”.这不在于n的具体大小. 例如, 在例1~例5中, 即使n=1010, 仍是“小样本方法”. 而在例6~例7中, 即使n=40, 仍是“大样本方法”. 当然, “大样本方法”只有在n较大时才宜于使用. 五 置信界 在实际中,有时只对参数? 的一端的界限感兴趣, 例如,?是在一种物质中某种杂质的百分率,则我们 可能只关心其上界,即要求找到这样一个统计量 置信上界.又如, ?是某种材料的强度,则我们可能 只关心其下界,即要求找到这样一个统计量 (X1, X2, ...Xn). 使{? ? }的概率很大, (X1, X2, ...Xn), 使{? ? }的概率很大, 就称为? 的 就称为? 的置信下界. 例9 (参见例1) 设总体X~N(? , ? 2), ? 2已知, ? 未知, X1, X2 ,…, Xn是总体X的样本, 求? 的置信下界. (置信水平为 1?? ). 解: 在正态分布表中可以查出上侧分位数u? ,使得 即 所以, 是 ? 的一个置信下界 完全类似地