张量概念 @@1.pptVIP

弹塑性力学 张量的运算法则与矢量相类似。 如：张量相等即对应分量相等； 张量相加即对应分量相加； 张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量； n 阶张量缩并后变为n-2 阶张量等等。 1.7 张量的基本运算 ? A、张量的加减： 凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。 其分量为： 其矩阵形式为： 若 a 为一矢量，则 ? ◆ 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所有坐标系中的所有分量都为0。 这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考虑Fi 导致的应力?ij ，以后将证明，为满足平衡 ?ij,j=Fi ，现将它重写为 Di= ?ij,j－Fi=0 因为Di 是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。 ? B、张量的乘积 张量A 的每一个分量乘以张量B 中的每一个分量所组成的集合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。 设 T 为二阶张量，? 为一标量，它们的乘积记 仍为二阶张量。 因为根据坐标变换，有 可见， 为二阶张量。 ? ◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如： 二阶张量 一阶 零阶 并矢积、并矢记法、基张量 矢量 a 和矢量 b 的并矢积 a?b 定义为按下列规则变换任意矢量的变换： ? 关于a?b是二阶张量的证明： 即证明a?b 满足张量的定义： a?b 是一个线性变换。 设有任意矢量c,d ，及标量?，?，则由并矢积定义 可见：a?b 满足张量的定义。 ? 关于基矢量组 的分量： 矩阵形式： ? 基矢量e1，e2，e3 的并矢积： ? ? *哈工大 土木工程学院 02 张量概念 土木工程学院 工程力学学科组 HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY ? 第1节 张量概念及其基本运算 自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。 数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐标系的选择，会使问题简单化或复杂化。 希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量摆脱具体坐标系的影响。 ◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。 ◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 ◆ 任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为转移的。 ◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。 1.1 张量概念 ◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。 ? ◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足 ◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。 ◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个分量来确定。 ◆ 若我们以r 表示维度（如三维空间），以n 表示阶数，则描述一切物理恒量的分量数目M 可统一地表示成： ? ◆ 统一称这些物理量为张量（Tensor） 。 ◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来解决定义。 当n = 0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n = 1时，一阶张量，M = 31，矢量； 当n = 2时，二阶张量，M = 32，矩阵； 当取 n 时，n 阶张量，M = 3n。 ? 张量定义 设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢量，Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当坐标变换时，n一次式 由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。 保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in 的集合称为 n 阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。 ? ◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。 ◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。 ◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。 ◆ 如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三维空间，即变程为3。 1.2 指标记法 ? 矢量V 的方式表示： vi 代表矢量V 的所有分量，即当V 写作vi 时，指标的值从1到3变化