高中数学-第3章-导数及其应用-3.1.1-变化率问题-3.1.2-导数的概念学案-新人教A版选修1-1.doc

3.1.1　变化率问题 3.1.2　导数的概念 1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点) 2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点) 3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点) [基础·初探] 教材整理1　变化率问题 阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题. 函数的变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.(　　) (2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.(　　) (3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.(　　) 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√ 教材整理2　导数的概念 阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题. 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式： ＝ . (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值. (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝ ＝ . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关.(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零.(　　) (4)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0.(　　) 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× [小组合作型] 平均变化率 　(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为______，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________. (2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝________. 【自主解答】　(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴＝＝－Δx＋3.【答案】　(1)6x0＋3Δx　12.3　(2)－Δx＋3 求平均变化率的主要步骤 1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3.得平均变化率＝. [再练一题]1.求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，在哪一点附近平均变化率最大？ 【导学号 【解】　在x＝1附近的平均变化率为：k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k3＝＝＝6＋Δx.若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大. 求瞬时速度 　若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s).求： (1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度； (2)物体在t＝1 s时的瞬时速度. 【精彩点拨】→ 【自主解答】　(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2 s，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s).(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，所以＝＝(3Δt－12)(m/s)，则物体在t＝1 s时的瞬时速度为 ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s). 求物体瞬时速度的步骤 1.设非匀速直线运动的规律s＝s(t).2.求时间改变量Δt和位置改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).3.求平均速率＝.4.计算瞬时速率：当Δt→0时，→v(常数). [再练一题] 2.质点M按规律s＝2t2＋3作直线运动(位移单位：cm，时间单位：s).求质点M在t＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度. 【解】　v＝ ＝ ＝ (2Δt＋8)＝8(cm/s)，＝＝ ＝8(cm/s). [探究共研型] 函数在某点处的导数 探究　导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？ 【提示】　导数可以反映函数在