高等数学B（林业大学）第一节 常数项级数的概念和性质.PPTVIP

* 第十二章 无穷级数 infinite series * 常数项级数的概念 收敛级数的基本性质 收敛级数的必要条件 constant term infinite series 第一节 常数项级数的概念和性质 * 为什么要研究无穷级数 是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、 出它的威力. 在自然科学和工程技术中,也常用无穷 无穷级数是数和函数的一种表现形式. 因无穷级数中包含有许多非初等函数, 故它在积分运算和微分方程求解时, 也呈现 如谐波分析等. 造函数值表）. 级数来分析问题, 常数项级数的概念 * 1. 级数的定义 (常数项)无穷级数 一般项 如 以上均为(常)数项级数. (1) 常数项级数的概念 一、常数项级数的概念 * 这样, 级数(1)对应一个部分和数列: 称无穷级数(1)的 2. 级数的收敛与发散概念 按通常的加法运算一项一项的加下去, 为级数(1)的 无穷级数定义式(1)的含义是什么? 也算不完, 永远 那么如何计算? 前n项和 部分和. 常数项级数的概念 * 部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限. 定义 则称无穷级数 并写成 即 常数项级数收敛 (发散). (不存在) 存在 常数项级数的概念 * 对收敛级数(1), 为级数(1)的余项或余和. 显然有 当n充分大时, 级数的敛散性它与部分和数列是否有 极限是等价的. (1) 称差 误差为 常数项级数的概念 * 例 而 所以, 的部分和 级数 级数发散. 常数项级数的概念 * 解 (重要) 例 讨论等比级数(几何级数) 的收敛性. 常数项级数的概念 * 收敛 发散 发散 发散 综上 级数变为 常数项级数的概念 * 讨论级数 的敛散性. 解 例 因为 为公比的等比级数, 是以 故 级数 收敛. 发散. 常数项级数的概念 * 解 例 判定级数 的收敛性. 常数项级数的概念 * 其余项为 即 常数项级数的概念 * 例 因为 后式减前式,得 证 证明级数 并求其和. 收敛, 常数项级数的概念 * 故 所以,此级数收敛, 且其和为2. 常数项级数的概念 * 的部分和分别为 则 于是 也不存在极限. 证 性质1 设常数 则 有相同的敛散性. 所以, 有相同的敛散性. 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 = + + + ) ( 2 1 n u u u k L * 性质2 设有两个级数 发散. 收敛, 发散, 均发散, 敛散性 不确定. 证 极限的性质 即证. 级数的部分和 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 常数项级数的概念 * 例 都收敛. 无穷递减等比数列的和 常数项级数的概念 * 都发散. 但 收敛. 例 常数项级数的概念 * 性质3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性. 性质4 设级数 收敛, 则对其各项任意加括号所得 新级数仍收敛于原级数的和. ①一个级数加括号后所得新级数发散,则 注 原级数发散. 事实上, 加括后的级数就应该收敛了. 设原来的级数收敛, 则根据性 常数项级数的概念 质4, 收敛 发散 ②一个级数加括号后收敛, 原级数敛散性不确定. * 证 级数收敛的必要条件 因为 则 所以 常数项级数的概念 三、收敛级数的必要条件 * 注 ① 级数收敛的必要条件, ③ 必要条件不充分. 常用判别级数发散; 如 调和级数 ② 也可用它求或验证极限为“0”的极限; 级数收敛的必要条件: 但级数是否收敛 常数项级数的概念 * 是否收敛? 讨论 调和级数 由于 知 得 由 知级数发散. 发散 常数项级数的概念 * 例 判别下列级数的敛散性 级数收敛的必要条件 常用判别级数发散. 解题思路 常数项级数的概念 * 解 由于 发散 解 由于 发散 常数项级数的概念 * 解 而级数 所以这个等比级数 发散. 由性质2知, 由性质1知, 发散. 因调和级数 发散, 为公比的等比级数, 是以 收敛. 常数项级数的概念 * 为收敛级数, a为非零常数, 试判别级数 的敛散性. 解 因为 收敛, 故 从而 故级数 发散. 级数收敛的必要条件: 常数项级数的概念 * 常数项级数的基本概念 基本审敛法 3. 按基本性质 则级数收敛 由定义, 2. 则级数发散 一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质 常数项级数的概念 四、小结 级数收敛的必要条件 记住等比级数(几何级数) 的收敛性 1. * 思考题 是非题 非 非 是 常数项级数的概念 * 自修作业 习题12-1(255页) 3. 4. 常数项级数的概念