高等数学B（林业大学）第四节 空间曲线及其方程.PPTVIP

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标面上的投影 (space curve) 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作 特点： 曲线上的点都满足方程, 满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能 同时满足两个方程. 空间两曲面的交线. 空间曲线及其方程 例 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆 空间曲线及其方程 C 例 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面（如图） 圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图） 空间曲线及其方程 空间曲线的参数方程 随着参数的变化可得到曲线上的 就得到曲线上的一个点 全部点. 空间曲线及其方程 动点从A点出发, 螺旋线的 参数方程. 取时间t为参数, 解 经过t时间, 运动到M点. 例 那末点M 构 成的图形称为螺旋线. 试建立其参数方程. 空间曲线及其方程 M在xOy面的投影 轴的正方向上升 如果空间一点M 在圆柱面 上以 角速度ω绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比. 即 上升的高度 螺距 空间曲线及其方程 消去变量z后得： 曲线关于xOy的 设空间曲线C的一般方程： 投影柱面的特征： 此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、 C 投影柱面. 空间曲线及其方程 母线垂直于所投影的坐标面. 类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影. yOz面上的投影曲线 xOz面上的投影曲线 空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影) (即为曲线关于xOy面的投影柱面) (即为xOy 面) C 空间曲线及其方程 (即为投影柱面与xOy 面的交线) 例 求曲线 在坐标面上的投影. 解 (1) 消去变量z后得 在 xOy面上的投影为 (2) 因为曲线在平面 xOy面的投影柱面 空间曲线及其方程 上， 所以在 xOz面上 的投影为线段. 空间曲线及其方程 例 求曲线 在坐标面上的投影. (3) 同理在yOz面上的投影 也为线段. 交线方程为 解 空间曲线及其方程 求椭圆抛物面 与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程. 例 (1) 消去变量z (2) 消去变量y (3) 消去变量x 得投影 得投影 得投影 由参数方程表示的空间曲线在坐标面上 在yOz平面上的投影为 在xOy平面上的投影为: 想一想 在xOz平面上的投影呢? 注 例 螺旋线 即 即 的投影亦易求出. 空间曲线及其方程 选择题 1.曲线 在xOy面上的投影柱面方程是( ). A 空间曲线及其方程 2. 球面 与 交线在xOy面上投影曲线方程是(　　)． D 空间曲线及其方程 2 2 2 2 ) ( ) ( R z y z a A = + + - 表示( ). (A) 双曲柱面与平面x = 2交线; (B) 双曲柱面; (C) 双叶双曲面; (D) 单叶双曲面. A 曲面及其方程 3. 填空题 1.母线平行于x轴且通过曲线 的柱面方程是 2.双曲抛物面(马鞍面) 与xOy面的交线是 相交于原点的两条直线. 空间曲线及其方程 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 空间曲线的一般方程 空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线及其方程 四、小结 空间曲线的参数方程 曲线在xOz面上的投影方程为: 曲线在yOz面上的投影方程为: 曲线在xOy面上的投影方程为: 解答 思考题1 求曲线 在各坐标面上的投影方程. 空间曲线及其方程 思考题2 方程 表示怎样的曲线？ 曲面及其方程 解答 表示 双曲线. 作业 习题8-4(37页) 3. 4. 5. (2) 8. 空间曲线及其方程 * *