角平分线(二)王晓晨.ppt

1、关于三角形的角平分线的说法错误的是( ) A.两角平分线的交点在三角形内 B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上 C.两角平分线的交点到三边的距离相等 D.两角平分线的交点到三个顶点的距离相等 2、如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的平分线，交BC于D，BC=5，BD=2则点D到AB的距离为 ( ) 4、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. * 角平分线（二） 第一章 三角形的证明 彰武三中 王晓晨 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 1.角的平分线的性质定理: O C B 1 A 2 P D E PD⊥OA，PE⊥OB ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE 用数学语言表述： (或∵ ∠1 =∠2） 在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 角平分线性质定理的逆定理 2.角平分线的判定定理 3.角平分线的尺规作法 A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心，大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． 学习目标： 1.三角形三个内角平分线的性质及证明 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用． 三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。 一. 三角形三条内角平分线的性质 三角形的三条角平分线交点叫三角形的内心 如何证明三角形三条内角平分线的性质？ 证明：三角形三条角平分线相交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。 已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，过点P分别作AB, BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F， 求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF． 证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE 同理：PE=PF． ∴PD=PE=PF． ∴点P在∠A的平分线上 即∠A的平分线经过点P。 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三 角 形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 交点性质 交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点 交于三角形内一点 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 [例]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 用心想一想，马到功成 D A B E C (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90°，∴∠B= ×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°=45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中 (勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm． [例]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 用心想一想，马到功成 (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 比一比，看哪组做得更好！ 已知：如图，P是∠ AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D． 求证：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分线． 证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC=PD 在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)． ∴OC=OD(全等三角形对应边相等)． P D A E C O B (2)又OP是∠AOB的角平分线， ∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)． C D A B D 3 3、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD平分∠BAC。 A B C E F D 课堂小结, 畅谈收获： 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三