控制工程基础(数学模型：微分方程,传递函数).PPT

机械旋转系统 [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移θ(t)为输出信号的数学模型。 (1) s是复变量： 在求取拉普拉斯变换时，s的唯一作用是使拉普拉斯积分收敛，可以看成常数。 (2) f(t)是实函数，且满足： 2)单位斜坡函数 重要提示 我们这个课程会使用很多的数学工具，但是我们不是一门数学课程，学习过程中要特别注意工程的意义！ 复域模型 – 传递函数 2.3.1. 传递函数的定义与性质 定义： 线性定常系统的传递函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。 问题的提出 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响 所谓零初始条件是指 1）输入量在t>0时才作用在系统上，即在 时系统输入及各项导数均为零； 2）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在 时系统输出及其所有导数项为零。 * 设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值为0，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得s的代数方程为： 由定义得系统得传递函数为 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 式中c(t)为系统输出量，r(t)为系统输入量，ai(i=1，2，3…n)和 bj (j= 1,2,3….m )是与系统结构和参数有关的常系数 分母中s的最高阶次n即为系统的阶次，该系统称为n阶系统。 试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s). 例2.5 如图RLC电路， R L C i(t) ur(t) uc(t) 解: 零初始条件下取拉氏变换： 传递函数： * 性质 传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数； 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性.） 只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，不能表征内部所有状态的特征。 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。 服从不同动力学规律的系统可有同样的传递函数。 传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 * 传递函数的物理意义 显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输入的拉氏变换为，则系统的输出的拉氏变换为 系统的输出为 由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为 所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为 * 单位脉冲输入信号下系统的输出为g(t),则 可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数。 * 2.3.2. 典型环节的传递函数 比例环节: 输出量无滞后，按比例复现输入量 电位器 * 惯性环节 该环节存在储能元件，典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程，其特点是当系统输入有阶跃变化时，系统输出是由零逐渐跟上，如图所示。(a)为系统的输入变化，(b)为系统的输出响应。输出按单调指数规律上升. * 积分环节 输出量与输入量对时间的积分成正比 微分环节 输出量与输入量的导数成正比 r(t) c(t) t 积分放大器原理 * 例2.6：如图所示卫星姿态控制系统 对偏航角的控制 其中A、B为斜对称配置的喷气发动机，推力均为F/2，成对工作。每个发动机到质心的距离为l，那么产生的力矩为T=Fl，假设卫星的转动惯量为J，角位移θ(t)为输出量，产生的力矩T为输入量，那么根据牛顿第二定律，注意到在卫星周围的环境中不存在摩擦，所以有 其中T’＝J/l 这是由两个积分环节组成的。 * 振荡环节（二阶环节） 该环节存在两个储能元件，且所储两种能量可以互相转换，故动态过程表现出振荡特性 * ：无阻尼自然振荡频率 ：阻尼比 延滞环节 延滞时间（死区时间） 输出量相对于输入量滞后一个恒定时间 * 关于典型环节的几点说明 一个不可分割的装置或元